Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
- Integrar por método tabular
- Integrar por fracciones parciales
- Integrar por cambio de variable
- Integrar por partes
- Integrar por sustitución trigonométrica
- Integración por Sustitución de Weierstrass
- Integrar usando identidades trigonométricas
- Integrar usando integrales básicas
- Producto de Binomios con Término Común
- Método FOIL
- Cargar más...
Podemos resolver la integral $\int x^2\sin\left(x\right)dx$ aplicando el método tabular para la integración por partes, el cual nos permite integrar por partes de forma sucesiva integrales de la forma $\int P(x)T(x) dx$. $P(x)$ típicamente es un polinomio y $T(x)$ es una función trascendente como $\sin(x)$, $\cos(x)$ y $e^x$. El primer paso es escoger las funciones $P(x)$ y $T(x)$
Derivar $x^2$ con respecto a $x$
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero
Derivar $P(x)$ hasta que se vuelva $0$
Integrar $\sin\left(x\right)$ con respecto a $x$
La integral del seno de función es igual a menos el coseno de la misma función, en otras palabras: $\int\sin(x)dx=-\cos(x)$
La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral del coseno de una función es igual al seno de la misma función, en otras palabras: $\int\cos(x)dx=\sin(x)$
La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral del seno de función es igual a menos el coseno de la misma función, en otras palabras: $\int\sin(x)dx=-\cos(x)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Integrar $T(x)$ tantas veces como hayamos tenido que derivar $P(x)$, por lo que debemos integrar $\sin\left(x\right)$ un total de $3$ veces
Con las derivadas e integrales de ambas funciones construimos la siguiente tabla
Luego, la solución consiste en la suma de los productos de las derivadas y las integrales según la tabla anterior. El primer término consiste en el producto de la función polinomial por la primera integral. El segundo término es el producto de la primera derivada por la segunda integral, y así sucesivamente.
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
