Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
- Elige una opción
- Resolver usando la regla de l'Hôpital
- Resolver sin utilizar l'Hôpital
- Resolver usando propiedades de los límites
- Resolver haciendo sustitución directa
- Resolver el límite usando factorización
- Resolver el límite usando racionalización
- Integrar por fracciones parciales
- Producto de Binomios con Término Común
- Método FOIL
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El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes
Obtenido el mínimo común multiplo (MCM), lo colocamos como denominador de cada fracción, y en el numerador de cada fracción añadimos los factores que nos hacen falta para completar
Simplificar los numeradores
Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $\left(x-1\right)\ln\left(x\right)$ como denominador común
Insertar el valor $1$ en el límite
Multiplicar $-1$ por $1$
Restar los valores $1$ y $-1$
Calculando el logaritmo natural de $1$
Multiplicar $1$ por $0$
Restar los valores $1$ y $-1$
Calculando el logaritmo natural de $1$
Multiplicar $0$ por $0$
Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to1}\left(\frac{x\ln\left(x\right)-x+1}{\left(x-1\right)\ln\left(x\right)}\right)$ cuando $x$ tiende a $1$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada
Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado
Encontrar la derivada del numerador
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=x$ y $g=\ln\left(x\right)$
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Multiplicando la fracción por el término $x$
Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$
Sumar los valores $1$ y $-1$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
Encontrar la derivada del denominador
Multiplicar el término $\ln\left(x\right)$ por cada término del polinomio $\left(x-1\right)$
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=x$ y $g=\ln\left(x\right)$
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Multiplicando la fracción por el término $x$
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$
Después de derivar tanto el numerador como el denominador, y simplificar, el límite resulta en
Insertar el valor $1$ en el límite
Calculando el logaritmo natural de $1$
Dividir $-1$ entre $1$
Restar los valores $1$ y $-1$
Calculando el logaritmo natural de $1$
Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to1}\left(\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(x\right)+1+\frac{-1}{x}}\right)$ cuando $x$ tiende a $1$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada
Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado
Encontrar la derivada del numerador
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
Encontrar la derivada del denominador
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$
Multiplicar $-1$ por $-1$
La derivada de la función constante ($-1$) es igual a cero
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
Combinar $\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ en una sola fracción
Dividir las fracciones $\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1+\frac{x^2}{x}}{x^2}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Simplificar la fracción $\frac{x^2}{x}$ por $x$
Simplificar la fracción $\frac{x^2}{x}$ por $x$
Después de derivar tanto el numerador como el denominador, y simplificar, el límite resulta en
Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{1+x}\right)$ por $x$
Sumar los valores $1$ y $1$
Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{1+x}\right)$ por $x$