Calcular el límite $\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{x-1}+\frac{-1}{\ln\left(x\right)}\right)$

Solución Paso a paso

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atanh
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Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Elige una opción
  • Resolver usando la regla de l'Hôpital
  • Resolver sin utilizar l'Hôpital
  • Resolver usando propiedades de los límites
  • Resolver haciendo sustitución directa
  • Resolver el límite usando factorización
  • Resolver el límite usando racionalización
  • Integrar por fracciones parciales
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
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1

El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes

$M.C.M.=\left(x-1\right)\ln\left(x\right)$
2

Obtenido el mínimo común multiplo (MCM), lo colocamos como denominador de cada fracción, y en el numerador de cada fracción añadimos los factores que nos hacen falta para completar

$\frac{x\ln\left(x\right)}{\left(x-1\right)\ln\left(x\right)}+\frac{-\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\ln\left(x\right)}$
3

Simplificar los numeradores

$\frac{x\ln\left(x\right)}{\left(x-1\right)\ln\left(x\right)}+\frac{-x+1}{\left(x-1\right)\ln\left(x\right)}$
4

Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $\left(x-1\right)\ln\left(x\right)$ como denominador común

$\lim_{x\to1}\left(\frac{x\ln\left(x\right)-x+1}{\left(x-1\right)\ln\left(x\right)}\right)$

Insertar el valor $1$ en el límite

$\lim_{x\to1}\left(\frac{1\ln\left(1\right)- 1+1}{\left(1-1\right)\ln\left(1\right)}\right)$

Multiplicar $-1$ por $1$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{1\ln\left(1\right)-1+1}{\left(1-1\right)\ln\left(1\right)}\right)$

Restar los valores $1$ y $-1$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{1\ln\left(1\right)}{\left(1-1\right)\ln\left(1\right)}\right)$

Calculando el logaritmo natural de $1$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{1\cdot 0}{\left(1-1\right)\ln\left(1\right)}\right)$

Multiplicar $1$ por $0$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{0}{\left(1-1\right)\ln\left(1\right)}\right)$

Restar los valores $1$ y $-1$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{0}{0\ln\left(1\right)}\right)$

Calculando el logaritmo natural de $1$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{0}{0\cdot 0}\right)$

Multiplicar $0$ por $0$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{0}{0}\right)$
5

Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to1}\left(\frac{x\ln\left(x\right)-x+1}{\left(x-1\right)\ln\left(x\right)}\right)$ cuando $x$ tiende a $1$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
6

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)-x+1\right)}{\frac{d}{dx}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x\right)\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)-x+1\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=x$ y $g=\ln\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(x\right)$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}-\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}-1$

Multiplicando la fracción por el término $x$

$\ln\left(x\right)+\frac{x}{x}-1$

Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$

$\ln\left(x\right)+1-1$

Sumar los valores $1$ y $-1$

$\ln\left(x\right)+0$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$\ln\left(x\right)$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x\right)\right)$

Multiplicar el término $\ln\left(x\right)$ por cada término del polinomio $\left(x-1\right)$

$\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)-\ln\left(x\right)\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\ln\left(x\right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=x$ y $g=\ln\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Multiplicando la fracción por el término $x$

$\ln\left(x\right)+\frac{x}{x}-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\ln\left(x\right)+\frac{x}{x}+\frac{-1}{x}$

Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$

$\ln\left(x\right)+1+\frac{-1}{x}$
7

Después de derivar tanto el numerador como el denominador, y simplificar, el límite resulta en

$\lim_{x\to1}\left(\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(x\right)+1+\frac{-1}{x}}\right)$

Insertar el valor $1$ en el límite

$\lim_{x\to1}\left(\frac{\ln\left(1\right)}{\ln\left(1\right)+1-\frac{1}{1}}\right)$

Calculando el logaritmo natural de $1$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{0}{\ln\left(1\right)+1-\frac{1}{1}}\right)$

Dividir $-1$ entre $1$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{0}{\ln\left(1\right)+1-1}\right)$

Restar los valores $1$ y $-1$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{0}{\ln\left(1\right)}\right)$

Calculando el logaritmo natural de $1$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{0}{0}\right)$
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to1}\left(\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(x\right)+1+\frac{-1}{x}}\right)$ cuando $x$ tiende a $1$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
9

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)+1+\frac{-1}{x}\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{x}$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)+1+\frac{-1}{x}\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{-1}{x}\right)$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{x}+\frac{d}{dx}\left(\frac{-1}{x}\right)$

Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$

$\frac{1}{x}+\frac{\frac{d}{dx}\left(-1\right)x- -\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

Multiplicar $-1$ por $-1$

$\frac{1}{x}+\frac{\frac{d}{dx}\left(-1\right)x+\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

La derivada de la función constante ($-1$) es igual a cero

$\frac{1}{x}+\frac{0+\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{1}{x}+\frac{0+1}{x^2}$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$

Combinar $\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ en una sola fracción

$\lim_{x\to1}\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1+\frac{x^2}{x}}{x^2}}\right)$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1+\frac{x^2}{x}}{x^2}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{\frac{x^2}{x}}{1+\frac{x^2}{x}}\right)$

Simplificar la fracción $\frac{x^2}{x}$ por $x$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{1+\frac{x^2}{x}}\right)$

Simplificar la fracción $\frac{x^2}{x}$ por $x$

$\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{1+x}\right)$
10

Después de derivar tanto el numerador como el denominador, y simplificar, el límite resulta en

$\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{1+x}\right)$

Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{1+x}\right)$ por $x$

$\frac{1}{1+1}$

Sumar los valores $1$ y $1$

$\frac{1}{2}$
11

Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{1+x}\right)$ por $x$

$\frac{1}{2}$

Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}$

Respuesta numérica exacta

$0.5$

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atanh
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Cómo mejorar tu respuesta:

Tema Principal: Límites por regla de l'Hôpital

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

Fórmulas Usadas

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