Solución Paso a paso

Derivar usando el método de diferenciación logarítmica $\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{\cos\left(x\right)}\right)$

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log
log
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>=
<=
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tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\left(\frac{4\left(5x^{4}+3\right)}{x^5+3x}+\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{\cos\left(x\right)}$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{cos\:x}\right)$

Elige el método de resolución

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Para derivar la función $\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{\cos\left(x\right)}$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación

$y=\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{\cos\left(x\right)}$
2

Aplicar logaritmos a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{\cos\left(x\right)}\right)$
3

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(x^5+3x\right)^4\right)-\ln\left(\cos\left(x\right)\right)$
4

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\ln\left(y\right)=4\ln\left(x^5+3x\right)-\ln\left(\cos\left(x\right)\right)$
5

Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(4\ln\left(x^5+3x\right)-\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right)$
6

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(4\ln\left(x^5+3x\right)-\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right)$
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Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{d}{dx}\left(4\ln\left(x^5+3x\right)-\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right)$
8

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{d}{dx}\left(4\ln\left(x^5+3x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right)$
9

La derivada de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante por la derivada de la función

$y^{\prime}\frac{1}{y}=4\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^5+3x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right)$
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La derivada de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante por la derivada de la función

$y^{\prime}\frac{1}{y}=4\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^5+3x\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right)$
11

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=4\left(\frac{1}{x^5+3x}\right)\frac{d}{dx}\left(x^5+3x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right)$
12

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=4\left(\frac{1}{x^5+3x}\right)\frac{d}{dx}\left(x^5+3x\right)-\left(\frac{1}{\cos\left(x\right)}\right)\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)$
13

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función, es decir, si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)\cdot D_x(x)$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=4\left(\frac{1}{x^5+3x}\right)\frac{d}{dx}\left(x^5+3x\right)+\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$
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La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$y^{\prime}\frac{1}{y}=4\left(\frac{1}{x^5+3x}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^5\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)\right)+\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$
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La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$y^{\prime}\frac{1}{y}=4\left(\frac{1}{x^5+3x}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^5\right)+3\right)+\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{4\left(5x^{4}+3\right)}{x^5+3x}+\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$
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Dividir ambos lados de la ecuación por $\frac{1}{y}$

$y^{\prime}=y\left(\frac{4\left(5x^{4}+3\right)}{x^5+3x}+\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)$
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Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{\cos\left(x\right)}$

$y^{\prime}=\left(\frac{4\left(5x^{4}+3\right)}{x^5+3x}+\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{\cos\left(x\right)}$
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La derivada de la función es entonces

$\left(\frac{4\left(5x^{4}+3\right)}{x^5+3x}+\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{\cos\left(x\right)}$

Respuesta Final

$\left(\frac{4\left(5x^{4}+3\right)}{x^5+3x}+\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{\cos\left(x\right)}$
$\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(x^5+3x\right)^4}{cos\:x}\right)$

Fórmulas relacionadas:

6. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.16 s (SnapXam)