Calculadora de Serie de Taylor

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(◻)

◻/◻

◻²

◻^◻

√◻

√

^◻√◻

^◻√

∞

log

log_◻

lim

d/dx

D^□_x

∫

∫^◻

|◻|

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

asec

acsc

sinh

cosh

tanh

coth

sech

csch

asinh

acosh

atanh

acoth

asech

acsch

 Ejercicios Difíciles

Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de serie de taylor. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\int\frac{arctan\left(2x\right)}{x}dx$

Podemos resolver la integral $\int\frac{\arctan\left(2x\right)}{x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=2x$

$du=\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$2\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$2$

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$

Reorganizar la ecuación

$2dx=du$

Dividir ambos lados de la ecuación por $2$

$dx=\frac{du}{2}$

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$dx=\frac{du}{2}$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{\arctan\left(u\right)}{x}}{2}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\int\frac{\arctan\left(u\right)}{2x}du$

Podemos hacer uso de la sustitución original $u=2x$, para remover la $x$ en la expresión

$\int\frac{\arctan\left(u\right)}{u}du$

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{\arctan\left(u\right)}{u}du$

Reescribir la función $\arctan\left(u\right)$ como su representación en expansión de Series de Maclaurin

$\int\frac{\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}u^{\left(2n+1\right)}}{u}du$

Traer el denominador $u$ hacia dentro de la serie de potencias

$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}u^{\left(2n+1\right)}}{u}du$

Multiplicando la fracción por el término $u^{\left(2n+1\right)}$

$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}}{u}du$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}}{u}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)u}du$

Simplificar la fracción $\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)u}$ por $u$

$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{2n}}{2n+1}du$

Simplificamos la expresión

$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{2n}}{2n+1}du$

Podemos reescribir la serie de potencias de la siguiente forma

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{2n+1}\int{\left(-1\right)}^nu^{2n}du$

La integral de una función multiplicada por una constante (${\left(-1\right)}^n$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{2n+1}{\left(-1\right)}^n\int u^{2n}du$

Multiplicar la fracción por el término

$\sum_{n=0}^{\infty } \int u^{2n}du\frac{1{\left(-1\right)}^n}{2n+1}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\sum_{n=0}^{\infty } \int u^{2n}du\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}$

Multiplicar la fracción por el término

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}\int u^{2n}du$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2n$

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}\frac{u^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$

Multiplicando fracciones $\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1} \times \frac{u^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)\cdot \left(2n+1\right)}$

Al multiplicar dos potencias de igual base ($2n+1$), se pueden sumar los exponentes

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}$

Simplificamos la expresión

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n\left(2x\right)^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n\left(2x\right)^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n\left(2x\right)^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}+C_0$

 Respuesta final al problema

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n\left(2x\right)^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}+C_0$

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 Ejemplo

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 Respuesta final al problema

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