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Calculadora de Serie de Taylor

Resuelve tus problemas de matem谩ticas con nuestra calculadora de Serie de Taylor paso a paso. Mejora tus habilidades en matem谩ticas con nuestra amplia lista de problemas dif铆ciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aqu铆.

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atanh
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asech
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Aqu铆 te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de serie de taylor. 脡sta soluci贸n fue generada autom谩ticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\int\frac{arctan\left(2x\right)}{x}dx$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{\arctan\left(2x\right)}{x}dx$ aplicando el m茅todo de integraci贸n por sustituci贸n o cambio de variable. Primero, debemos identificar una secci贸n dentro de la integral con una nueva variable (llam茅mosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresi贸n dentro de la integral m谩s sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuaci贸n, definamos la variable $u$ y asign茅mosle el candidato

$u=2x$

Derivar ambos lados de la ecuaci贸n $u=2x$

$du=\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

La derivada de una funci贸n lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$2\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciaci贸n de potencias, la derivada de la funci贸n lineal es igual a $1$

$2$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en t茅rminos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuaci贸n del paso anterior

$du=2dx$

Reorganizar la ecuaci贸n

$2dx=du$

Dividir ambos lados de la ecuaci贸n por $2$

$dx=\frac{du}{2}$
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Despejando $dx$ de la ecuaci贸n anterior

$dx=\frac{du}{2}$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{\arctan\left(u\right)}{x}}{2}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\int\frac{\arctan\left(u\right)}{2x}du$

Podemos hacer uso de la sustituci贸n original $u=2x$, para remover la $x$ en la expresi贸n

$\int\frac{\arctan\left(u\right)}{u}du$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{\arctan\left(u\right)}{u}du$
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Reescribir la funci贸n $\arctan\left(u\right)$ como su representaci贸n en expansi贸n de Series de Maclaurin

$\int\frac{\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}u^{\left(2n+1\right)}}{u}du$
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Traer el denominador $u$ hacia dentro de la serie de potencias

$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}u^{\left(2n+1\right)}}{u}du$

Multiplicando la fracci贸n por el t茅rmino $u^{\left(2n+1\right)}$

$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}}{u}du$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}}{u}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)u}du$

Simplificar la fracci贸n $\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)u}$ por $u$

$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{2n}}{2n+1}du$
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Simplificamos la expresi贸n

$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{2n}}{2n+1}du$
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Podemos reescribir la serie de potencias de la siguiente forma

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{2n+1}\int{\left(-1\right)}^nu^{2n}du$
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La integral de una funci贸n multiplicada por una constante (${\left(-1\right)}^n$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la funci贸n

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{2n+1}{\left(-1\right)}^n\int u^{2n}du$

Multiplicar la fracci贸n por el t茅rmino

$\sum_{n=0}^{\infty } \int u^{2n}du\frac{1{\left(-1\right)}^n}{2n+1}$

Cualquier expresi贸n algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresi贸n

$\sum_{n=0}^{\infty } \int u^{2n}du\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}$
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Multiplicar la fracci贸n por el t茅rmino

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}\int u^{2n}du$
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La integral de una potencia est谩 dada por la siguiente f贸rmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un n煤mero o funci贸n constante, como $2n$

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}\frac{u^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$

Multiplicando fracciones $\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1} \times \frac{u^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)\cdot \left(2n+1\right)}$

Al multiplicar dos potencias de igual base ($2n+1$), se pueden sumar los exponentes

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}$
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Simplificamos la expresi贸n

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustituci贸n en un principio: $2x$

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n\left(2x\right)^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustituci贸n en un principio: $2x$

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n\left(2x\right)^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos a帽adir la constante de integraci贸n $C$

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n\left(2x\right)^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}+C_0$

Respuesta final al problema

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n\left(2x\right)^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)^2}+C_0$

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