Aqu铆 te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de serie de taylor. 脡sta soluci贸n fue generada autom谩ticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos resolver la integral $\int\frac{\arctan\left(2x\right)}{x}dx$ aplicando el m茅todo de integraci贸n por sustituci贸n o cambio de variable. Primero, debemos identificar una secci贸n dentro de la integral con una nueva variable (llam茅mosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresi贸n dentro de la integral m谩s sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuaci贸n, definamos la variable $u$ y asign茅mosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuaci贸n $u=2x$
Encontrar la derivada
La derivada de una funci贸n lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizando la regla de diferenciaci贸n de potencias, la derivada de la funci贸n lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $dx$ en t茅rminos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuaci贸n del paso anterior
Reorganizar la ecuaci贸n
Dividir ambos lados de la ecuaci贸n por $2$
Despejando $dx$ de la ecuaci贸n anterior
Dividir las fracciones $\frac{\frac{\arctan\left(u\right)}{x}}{2}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$
Podemos hacer uso de la sustituci贸n original $u=2x$, para remover la $x$ en la expresi贸n
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Reescribir la funci贸n $\arctan\left(u\right)$ como su representaci贸n en expansi贸n de Series de Maclaurin
Traer el denominador $u$ hacia dentro de la serie de potencias
Multiplicando la fracci贸n por el t茅rmino $u^{\left(2n+1\right)}$
Dividir las fracciones $\frac{\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}}{u}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$
Simplificar la fracci贸n $\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)u}$ por $u$
Simplificamos la expresi贸n
Podemos reescribir la serie de potencias de la siguiente forma
La integral de una funci贸n multiplicada por una constante (${\left(-1\right)}^n$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la funci贸n
Multiplicar la fracci贸n por el t茅rmino
Cualquier expresi贸n algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresi贸n
Multiplicar la fracci贸n por el t茅rmino
La integral de una potencia est谩 dada por la siguiente f贸rmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un n煤mero o funci贸n constante, como $2n$
Multiplicando fracciones $\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1} \times \frac{u^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($2n+1$), se pueden sumar los exponentes
Simplificamos la expresi贸n
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustituci贸n en un principio: $2x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustituci贸n en un principio: $2x$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos a帽adir la constante de integraci贸n $C$
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