1
Ejemplo resuelto de reglas básicas de diferenciación
$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+2x+2}\right)^2$
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$2\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+2x+2}\right)^{\left(2-1\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+2x+2}\right)$
Restar los valores $2$ y $-1$
$2\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+2x+2}\right)^{1}\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+2x+2}\right)$
Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+2x+2}\right)}{x^2+2x+2}$
2
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+2x+2}\right)}{x^2+2x+2}$
Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\frac{\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^2}}{x^2+2x+2}$
Multiplicando la fracción por el término $x^2+3x+1$
$\frac{2\left(\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^2\left(x^2+2x+2\right)}$
3
Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$
$\frac{2\left(\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^2\left(x^2+2x+2\right)}$
4
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\left(x^2+2x+2\right)^2\left(x^2+2x+2\right)$
$\frac{2\left(\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
5
Resolver el producto $-(x^2+3x+1)$
$\frac{2\left(\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-\left(3x+1\right)\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
6
Resolver el producto $-(3x+1)$
$\frac{2\left(\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
7
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{2\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$\frac{2\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)+0\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$\frac{2\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
8
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$\frac{2\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
La derivada de una función multiplicada por una constante ($3$) es igual a la constante por la derivada de la función
$3\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
$3$
9
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{2\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(\left(2x^{\left(2-1\right)}+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
Restar los valores $2$ y $-1$
$\frac{2\left(\left(2x^{1}+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
10
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
11
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(2\right)\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$\frac{2\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)+0\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$\frac{2\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+0\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
12
La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
La derivada de una función multiplicada por una constante ($3$) es igual a la constante por la derivada de la función
$3\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
$3$
La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función
$2\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
$2$
13
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(\left(2x^{\left(2-1\right)}+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
Restar los valores $2$ y $-1$
$\frac{2\left(\left(2x^{1}+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\left(2x^{\left(2-1\right)}+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
Restar los valores $2$ y $-1$
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\left(2x^{1}+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\left(2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
14
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\left(2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
$\frac{2\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)+\left(-x^2-3x-1\right)\left(2x+2\right)\right)\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$