1
Ejemplo resuelto de reglas básicas de diferenciación
$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+2x+2}\right)^2$
2
Aplicando la propiedad de la potencia de un cociente: $\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$
$\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(x^2+3x+1\right)^2}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\right)$
Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$
$\frac{\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+3x+1\right)^2\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-\left(x^2+3x+1\right)^2\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+2x+2\right)^2\right)}{\left(\left(x^2+2x+2\right)^2\right)^2}$
Simplificar $\left(\left(x^2+2x+2\right)^2\right)^2$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $2$
$\frac{\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+3x+1\right)^2\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-\left(x^2+3x+1\right)^2\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+2x+2\right)^2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
3
Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$
$\frac{\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+3x+1\right)^2\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-\left(x^2+3x+1\right)^2\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+2x+2\right)^2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)^{\left(2-1\right)}\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-\left(x^2+3x+1\right)^2\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+2x+2\right)^2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
Restar los valores $2$ y $-1$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-\left(x^2+3x+1\right)^2\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+2x+2\right)^2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
4
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-\left(x^2+3x+1\right)^2\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+2x+2\right)^2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)^{\left(2-1\right)}\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-\left(x^2+3x+1\right)^2\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+2x+2\right)^2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
Restar los valores $2$ y $-1$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-\left(x^2+3x+1\right)^2\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+2x+2\right)^2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)^2- 2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)^{\left(2-1\right)}\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
Restar los valores $2$ y $-1$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
5
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
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6
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)+0\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
7
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
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La derivada de una función multiplicada por una constante ($3$) es igual a la constante por la derivada de la función
$3\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
$3$
8
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x^{\left(2-1\right)}+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
Restar los valores $2$ y $-1$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
9
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
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10
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(2\right)\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)+0\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3x\right)\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+0\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
11
La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
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La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función
$2\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
$2$
12
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x^{\left(2-1\right)}+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
Restar los valores $2$ y $-1$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\left(2x^{\left(2-1\right)}+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
Restar los valores $2$ y $-1$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\left(2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
13
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\left(2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
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Factoizar el polinomio $2\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-2\left(x^2+3x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\left(2x+2\right)$ por su GCF: $2\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+2\right)\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{4}}$
Simplificar la fracción por $x^2+2x+2$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+2\right)\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+2\right)\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$
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Respuesta Final
$\frac{2\left(x^2+3x+1\right)\left(\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+3x+1\right)\left(2x+2\right)\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^{3}}$