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Calculadora de Integrales de Funciones Racionales de Seno y Coseno

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales de Funciones Racionales de Seno y Coseno paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

∫dx3−cos(x) 
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asec
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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Ejemplo

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Difíciles

1

Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales de funciones racionales de seno y coseno. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

∫dx3−cos(x)\int\frac{dx}{3-cos\left(x\right)}
2

Podemos resolver la integral ∫13−cos⁡(x)dx\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de tt usando la sustitución

t=tan⁡(x2)t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)
3

Por lo tanto

sin⁡x=2t1+t2, cos⁡x=1−t21+t2, y  dx=21+t2dt\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt
4

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

∫13−1−t21+t221+t2dt\int\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt

Multiplicando fracciones 13−1−t21+t2×21+t2\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}} \times \frac{2}{1+t^{2}}

∫2(3−1−t21+t2)(1+t2)dt\int\frac{2}{\left(3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt

Multiplicando la fracción por −1-1

∫2(3+−1+t21+t2)(1+t2)dt\int\frac{2}{\left(3+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt

Combinar 3+−1+t21+t23+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}} en una sola fracción

∫2−1+t2+3(1+t2)1+t2(1+t2)dt\int\frac{2}{\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}dt

Dividir las fracciones 2−1+t2+3(1+t2)1+t2(1+t2)\frac{2}{\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)} multiplicando en cruz: a÷bc=a1÷bc=a1×cb=a⋅cba\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}

∫2(1+t2)(−1+t2+3(1+t2))(1+t2)dt\int\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}dt

Simplificar la fracción 2(1+t2)(−1+t2+3(1+t2))(1+t2)\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)} por 1+t21+t^{2}

∫2−1+t2+3(1+t2)dt\int\frac{2}{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}dt
5

Simplificando

∫2−1+t2+3(1+t2)dt\int\frac{2}{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}dt
6

La integral de una función por una constante (22) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

2∫1−1+t2+3(1+t2)dt2\int\frac{1}{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}dt
7

Resolver el producto 3(1+t2)3\left(1+t^{2}\right)

2∫1t2+3+3t2−1dt2\int\frac{1}{t^{2}+3+3t^{2}-1}dt

Restar los valores 33 y −1-1

2∫1t2+2+3t2dt2\int\frac{1}{t^{2}+2+3t^{2}}dt

Reduciendo términos semejantes t2t^{2} y 3t23t^{2}

2∫14t2+2dt2\int\frac{1}{4t^{2}+2}dt
8

Simplificamos la expresión

2∫14t2+2dt2\int\frac{1}{4t^{2}+2}dt

2t2\sqrt{2t^{2}}

Aplicando la regla de potencia de un producto

2t\sqrt{2}t
9

Resolver la integral aplicando la sustitución u2=2t2u^2=2t^{2}. Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, simplificando nos queda

u=2tu=\sqrt{2}t

Derivar ambos lados de la ecuación u=2tu=\sqrt{2}t

du=ddt(2t)du=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{2}t\right)

Encontrar la derivada

ddt(2t)\frac{d}{dt}\left(\sqrt{2}t\right)

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

2ddt(t)\sqrt{2}\frac{d}{dt}\left(t\right)

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a 11

2\sqrt{2}
10

Ahora, para poder reescribir dtdt en términos de dudu, necesitamos encontrar la derivada de uu. Por lo tanto, necesitamos calcular dudu, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

du=2dtdu=\sqrt{2}dt
11

Despejando dtdt de la ecuación anterior

du2=dt\frac{du}{\sqrt{2}}=dt

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

2⋅(122)∫1u2+1du2\cdot \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)\int\frac{1}{u^2+1}du

Simplificar la fracción 2⋅(122)∫1u2+1du2\cdot \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)\int\frac{1}{u^2+1}du

12∫1u2+1du\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{u^2+1}du
12

Después de reemplazar todo y simplificar, la integral nos resulta en

12∫1u2+1du\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{u^2+1}du
13

Podemos resolver la integral aplicando la fórmula ∫x′x2+a2dx=1aarctan⁡(xa)\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)

12arctan⁡(u)\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(u\right)

Reemplazar uu por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: 2t\sqrt{2}t

12arctan⁡(2t)\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}t\right)
14

Reemplazar uu por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: 2t\sqrt{2}t

12arctan⁡(2t)\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}t\right)
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Reemplazar tt por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right)

12arctan⁡(2tan⁡(x2))\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)
16

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración CC

12arctan⁡(2tan⁡(x2))+C0\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0

Respuesta final al problema

12arctan⁡(2tan⁡(x2))+C0\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0

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