Ejemplo resuelto de integrales de funciones racionales de seno y coseno
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución
Por lo tanto
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Combinar $3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ en una sola fracción
Simplificar el producto $-(1-t^{2})$
Multiplicar el término $3$ por cada término del polinomio $\left(1+t^{2}\right)$
Sumar los valores $-1$ y $3$
Simplificando
Dividir las fracciones $\frac{1}{\frac{2+4t^{2}}{1+t^{2}}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Multiplicando fracciones $\frac{1+t^{2}}{2+4t^{2}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$
Factorizar el denominador por $2$
Cancelar el factor común $2$ de la fracción
Simplificando
Aplicando la regla de potencia de un producto
Resolver la integral aplicando la sustitución $u^2=2t^{2}$. Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, simplificando nos queda
Derivar ambos lados de la ecuación $u=\sqrt{2}t$
Encontrar la derivada
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dt$ de la ecuación anterior
Dividir $1$ entre $\sqrt{2}$
Dividir $\frac{\sqrt{2}}{2}$ entre $1$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Después de reemplazar todo y simplificar, la integral nos resulta en
Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$
Calcular la potencia $\sqrt{1}$
Dividir $1$ entre $1$
Calcular la raíz cuadrada de $1$
Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{2}t$
Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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