Ejemplo resuelto de integrales de funciones racionales de seno y coseno
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución
Por lo tanto
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Combinar $3-\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)$ en una sola fracción
Dividir las fracciones $\frac{1}{\frac{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Resolver el producto $-(1-t^{2})$
Multiplicando polinomios $3$ y $1+t^{2}$
Multiplicando fracciones $\frac{1+t^{2}}{2+4t^{2}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$
Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2+4t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$
Factorizar el denominador por $2$
Cancelar el factor común $2$ de la fracción
Simplificando
Resolver la integral aplicando la sustitución $u^2=2t^{2}$
Calcular la potencia $\sqrt{1}$
Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión
Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\frac{2}{\sqrt{2}}t$
Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Obtén acceso a miles de soluciones a problemas paso a paso, ¡y va en aumento cada día!