Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales de funciones racionales de seno y coseno. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Possiamo risolvere l'integrale $\int \frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ applicando il metodo di sostituzione di Weierstrass (noto anche come sostituzione del semiangolo tangente) che converte un integrale di funzioni trigonometriche in una funzione razionale di $t$ impostando la sostituzione
Quindi
Sostituendo l'integrale originale si ottiene
Multiplicando fracciones $\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$
Multiplicando la fracción por $-1$
Combinar $3+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$ en una sola fracción
Dividir las fracciones $\frac{2}{\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$
Semplificare
La integral de una función por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Resolver el producto $3\left(1+t^{2}\right)$
Restar los valores $3$ y $-1$
Combinazione di termini simili $t^{2}$ e $3t^{2}$
Semplificare l'espressione
Aplicando la regla de potencia de un producto
Risolvere l'integrale applicando la sostituzione $u^2=2t^{2}$. Quindi, prendere la radice quadrata di entrambi i lati, semplificando si ha
Differenziare entrambi i lati dell'equazione $u=\sqrt{2}t$
Trovare la derivata
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ora, per riscrivere $dt$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Isolare $dt$ nell'equazione precedente
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Simplificar la fracción $2\cdot \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)\int \frac{1}{u^2+1}du$
Dopo aver sostituito tutto e semplificato, l'integrale dà come risultato
Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\sqrt{2}t$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\sqrt{2}t$
Sostituire $t$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
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