1. calculadoras
  2. Integrales De Funciones Racionales De Seno Y Coseno

Calculadora de Integrales de Funciones Racionales de Seno y Coseno

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales de Funciones Racionales de Seno y Coseno paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. ¡Puedes encontrar todas nuestras calculadoras en línea aquí!

Go!
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

1

Ejemplo resuelto de integrales de funciones racionales de seno y coseno

$\int\frac{dx}{3-cos\left(x\right)}$
2

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
3

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
4

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{3-\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Combinar $3-\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)$ en una sola fracción

$\int\frac{1}{\frac{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Dividir las fracciones $\frac{1}{\frac{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\int\frac{1+t^{2}}{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Resolver el producto $-(1-t^{2})$

$\int\frac{1+t^{2}}{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicar el término $3$ por cada término del polinomio $\left(1+t^{2}\right)$

$\int\frac{1+t^{2}}{-1+t^{2}+3+3t^{2}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Restar los valores $3$ y $-1$

$\int\frac{1+t^{2}}{2+t^{2}+3t^{2}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Reduciendo términos semejantes $t^{2}$ y $3t^{2}$

$\int\frac{1+t^{2}}{2+4t^{2}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando fracciones $\frac{1+t^{2}}{2+4t^{2}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2+4t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2+4t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$

$\int\frac{2}{2+4t^{2}}dt$

Factorizar el denominador por $2$

$\int\frac{2}{2\left(1+2t^{2}\right)}dt$

Cancelar el factor común $2$ de la fracción

$\int\frac{1}{1+2t^{2}}dt$
5

Simplificando

$\int\frac{1}{1+2t^{2}}dt$

$\sqrt{2t^{2}}$

Aplicando la regla de potencia de un producto

$\sqrt{2}t$
6

Resolver la integral aplicando la sustitución $u^2=2t^{2}$. Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, simplificando nos queda

$u=\sqrt{2}t$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=\sqrt{2}t$

$du=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{2}t\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dt}\left(\sqrt{2}t\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$\sqrt{2}$
7

Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=\sqrt{2}dt$
8

Despejando $dt$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{\sqrt{2}}=dt$
9

Después de reemplazar todo y simplificar, la integral nos resulta en

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{1+u^2}du$

Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}\right)\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Calcular la potencia $\sqrt{1}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{1}\right)\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(u\right)$
10

Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(u\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}t\right)$
11

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{2}t$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}t\right)$
12

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)$
13

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0$

¿Problemas con matemáticas?

Obtén acceso a miles de soluciones a problemas paso a paso, ¡y va en aumento cada día!