Ejemplo resuelto de integrales de funciones racionales de seno y coseno
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución
Por lo tanto
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Combinar $3-\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)$ en una sola fracción
Multiplicando fracciones $\frac{1+t^{2}}{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)} \times \frac{2}{1+t^{2}}$
Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$
Simplificando
Multiplicar $-1$ por $-1$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Resolver el producto $-\left(1-t^{2}\right)$
Multiplicar $-1$ por $-1$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Multiplicar $3$ por $1$
Restar los valores $3$ y $-1$
Resolver el producto $3\left(1+t^{2}\right)$
Reduciendo términos semejantes $t^{2}$ y $3t^{2}$
Factorizar el denominador por $2$
Cancelar el factor común $2$
Simplificando
Resolver la integral aplicando la sustitución $u^2=2t^{2}$
Calcular la potencia $\sqrt{1}$
Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión
Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\frac{2}{\sqrt{2}}t$
Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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