Calculadora de Integrales de Funciones Racionales de Seno y Coseno

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(◻)

◻/◻

◻²

◻^◻

√◻

√

^◻√◻

^◻√

∞

log

log_◻

lim

d/dx

D^□_x

∫

∫^◻

|◻|

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

asec

acsc

sinh

cosh

tanh

coth

sech

csch

asinh

acosh

atanh

acoth

asech

acsch

Problemas Difíciles

Ejemplo resuelto de integrales de funciones racionales de seno y coseno

$\int\frac{dx}{3-cos\left(x\right)}$

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Combinar $3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ en una sola fracción

$\int\frac{1}{\frac{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Dividir las fracciones $\frac{1}{\frac{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\int\frac{1+t^{2}}{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Resolver el producto $-(1-t^{2})$

$\int\frac{1+t^{2}}{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicar el término $3$ por cada término del polinomio $\left(1+t^{2}\right)$

$\int\frac{1+t^{2}}{-1+t^{2}+3+3t^{2}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Restar los valores $3$ y $-1$

$\int\frac{1+t^{2}}{2+t^{2}+3t^{2}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Reduciendo términos semejantes $t^{2}$ y $3t^{2}$

$\int\frac{1+t^{2}}{2+4t^{2}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando fracciones $\frac{1+t^{2}}{2+4t^{2}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2+4t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2+4t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$

$\int\frac{2}{2+4t^{2}}dt$

Factorizar el denominador por $2$

$\int\frac{2}{2\left(1+2t^{2}\right)}dt$

Cancelar el factor común $2$ de la fracción

$\int\frac{1}{1+2t^{2}}dt$

Simplificando

$\int\frac{1}{1+2t^{2}}dt$

$\sqrt{2t^{2}}$

Aplicando la regla de potencia de un producto

$\sqrt{2}t$

Resolver la integral aplicando la sustitución $u^2=2t^{2}$. Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, simplificando nos queda

$u=\sqrt{2}t$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=\sqrt{2}t$

$du=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{2}t\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dt}\left(\sqrt{2}t\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$\sqrt{2}$

Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=\sqrt{2}dt$

Despejando $dt$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{\sqrt{2}}=dt$

Dividir $1$ entre $\sqrt{2}$

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}\int\frac{1}{1+1u^2}du$

Dividir $\frac{\sqrt{2}}{2}$ entre $1$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{1+1u^2}du$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{1+u^2}du$

Después de reemplazar todo y simplificar, la integral nos resulta en

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{1+u^2}du$

Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}\right)\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Calcular la potencia $\sqrt{1}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{1}\right)\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(u\right)$

Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(u\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}t\right)$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{2}t$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}t\right)$

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0$

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