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Calculadora de Integrales de Funciones Racionales de Seno y Coseno

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atanh
acoth
asech
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Ejemplo resuelto de integrales de funciones racionales de seno y coseno

$\int\frac{dx}{3-cos\left(x\right)}$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
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Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{3-\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Combinar $3-\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)$ en una sola fracción

$\int\frac{1+t^{2}}{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando fracciones $\frac{1+t^{2}}{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)} \times \frac{2}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$

$\int\frac{2}{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}dt$
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Simplificando

$\int\frac{2}{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}dt$
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Resolver el producto $-\left(1-t^{2}\right)$

$\int\frac{2}{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}dt$
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Resolver el producto $3\left(1+t^{2}\right)$

$\int\frac{2}{2+t^{2}+3t^{2}}dt$

Reduciendo términos semejantes $t^{2}$ y $3t^{2}$

$\int\frac{2}{2+4t^{2}}dt$

Factorizar el denominador por $2$

$\int\frac{2}{2\left(1+2t^{2}\right)}dt$

Cancelar el factor común $2$

$\int\frac{1}{1+2t^{2}}dt$
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Simplificando

$\int\frac{1}{1+2t^{2}}dt$
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Resolver la integral aplicando la sustitución $u^2=2t^{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{1+u^2}du$
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Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(u\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{2}{\sqrt{2}}t\right)$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\frac{2}{\sqrt{2}}t$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{2}{\sqrt{2}}t\right)$
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Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0$

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