Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales de funciones racionales de seno y coseno. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución
Por lo tanto
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Multiplicando fracciones $\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$
Multiplicando la fracción por $-1$
Combinar $3+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$ en una sola fracción
Dividir las fracciones $\frac{2}{\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$
Simplificando
La integral de una función por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Resolver el producto $3\left(1+t^{2}\right)$
Restar los valores $3$ y $-1$
Reduciendo términos semejantes $t^{2}$ y $3t^{2}$
Simplificamos la expresión
Aplicando la regla de potencia de un producto
Resolver la integral aplicando la sustitución $u^2=2t^{2}$. Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, simplificando nos queda
Derivar ambos lados de la ecuación $u=\sqrt{2}t$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dt$ de la ecuación anterior
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Simplificar la fracción $2\cdot \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)\int\frac{1}{u^2+1}du$
Después de reemplazar todo y simplificar, la integral nos resulta en
Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{2}t$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{2}t$
Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Obtén acceso a miles de soluciones a ejercicios paso a paso, ¡y va en aumento cada día!
Problemas más populares resueltos con ésta calculadora: