Calculadora de Integrales de Funciones Racionales de Seno y Coseno

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(◻)

◻/◻

◻²

◻^◻

√◻

√

^◻√◻

^◻√

∞

log

log_◻

lim

d/dx

D^□_x

∫

∫^◻

|◻|

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

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acsc

sinh

cosh

tanh

coth

sech

csch

asinh

acosh

atanh

acoth

asech

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 Ejercicios Difíciles

Ejemplo resuelto de integrales de funciones racionales de seno y coseno

$\int\frac{dx}{3-cos\left(x\right)}$

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Combinar $3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ en una sola fracción

$\int\frac{1}{\frac{-\left(1-t^{2}\right)+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Simplificar el producto $-(1-t^{2})$

$\int\frac{1}{\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicar el término $3$ por cada término del polinomio $\left(1+t^{2}\right)$

$\int\frac{1}{\frac{-1+t^{2}+3+3t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Sumar los valores $-1$ y $3$

$\int\frac{1}{\frac{2+t^{2}+3t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Simplificando

$\int\frac{1}{\frac{2+4t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Dividir las fracciones $\frac{1}{\frac{2+4t^{2}}{1+t^{2}}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\int\frac{1+t^{2}}{2+4t^{2}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando fracciones $\frac{1+t^{2}}{2+4t^{2}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2}{2+4t^{2}}dt$

Factorizar el denominador por $2$

$\int\frac{2}{2\left(1+2t^{2}\right)}dt$

Cancelar el factor común $2$ de la fracción

$\int\frac{1}{1+2t^{2}}dt$

Simplificando

$\int\frac{1}{1+2t^{2}}dt$

$\sqrt{2t^{2}}$

Aplicando la regla de potencia de un producto

$\sqrt{2}t$

Resolver la integral aplicando la sustitución $u^2=2t^{2}$. Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, simplificando nos queda

$u=\sqrt{2}t$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=\sqrt{2}t$

$du=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{2}t\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dt}\left(\sqrt{2}t\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$\sqrt{2}\frac{d}{dt}\left(t\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\sqrt{2}$

Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=\sqrt{2}dt$

Despejando $dt$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{\sqrt{2}}=dt$

Dividir $1$ entre $\sqrt{2}$

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}\int\frac{1}{1+1u^2}du$

Dividir $\frac{\sqrt{2}}{2}$ entre $1$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{1+1u^2}du$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{1+u^2}du$

Después de reemplazar todo y simplificar, la integral nos resulta en

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{1+u^2}du$

Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1}}\right)\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Calcular la potencia $\sqrt{1}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(\frac{1}{1}\right)\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Dividir $1$ entre $1$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Calcular la raíz cuadrada de $1$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{u}{1}\right)$

Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(u\right)$

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(u\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}t\right)$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{2}t$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}t\right)$

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0$

 Respuesta Final

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0$

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