Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial separables. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Factorizar la expresión por $y$
Agrupando los términos de la ecuación diferencial
Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ al lado derecho de la igualdad
Factoizar el polinomio $x^2+x$ por su máximo común divisor (MCD): $x$
Simplificar la expresión $\frac{-\left(2x-1\right)}{x^2+x}dx$
Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Resolver la integral $\int\frac{1}{y}dy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Sacar la constante $-1$ del argumento de la integral
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{2x-1}{x\left(x+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Expandir la integral $\int\left(\frac{-1}{x}+\frac{3}{x+1}\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Podemos resolver la integral $\int\frac{3}{x+1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Multiplicar $-1$ por $-1$
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Multiplicar $-1$ por $3$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+1$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Resolver la integral $\int\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Eliminando el logaritmo de la incógnita
Simplificando el logaritmo
Simplificar $e^{\left(\ln\left(x\right)-3\ln\left(x+1\right)+C_0\right)}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos
Simplificar $e^{\left(-3\ln\left(x+1\right)+C_0\right)}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos
Podemos expresar $e^{C_0}$ como otra constante
Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número
Multiplicar la fracción por el término
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$
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