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Calculadora de Ecuación Diferencial Separables

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Ecuación Diferencial Separables paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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coth
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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial separables. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\left(2xy-y\right)dx+\left(x^2+x\right)dy=0$
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Factorizar la expresión por $y$

$y\left(2x-1\right)dx+\left(x^2+x\right)dy=0$
3

Agrupando los términos de la ecuación diferencial

$\left(x^2+x\right)dy=-\left(2x-1\right)y\cdot dx$
4

Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ al lado derecho de la igualdad

$\frac{1}{y}dy=\frac{-\left(2x-1\right)}{x^2+x}dx$

Factoizar el polinomio $x^2+x$ por su máximo común divisor (MCD): $x$

$\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$
5

Simplificar la expresión $\frac{-\left(2x-1\right)}{x^2+x}dx$

$\frac{1}{y}dy=\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$
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Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$

$\int\frac{1}{y}dy=\int\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\ln\left|y\right|$
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Resolver la integral $\int\frac{1}{y}dy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\ln\left|y\right|=\int\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$

Sacar la constante $-1$ del argumento de la integral

$-\int\frac{2x-1}{x\left(x+1\right)}dx$

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{2x-1}{x\left(x+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{-1}{x}+\frac{3}{x+1}$

Expandir la integral $\int\left(\frac{-1}{x}+\frac{3}{x+1}\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$-\int\frac{-1}{x}dx-\int\frac{3}{x+1}dx$

Podemos resolver la integral $\int\frac{3}{x+1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=x+1$

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=dx$

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$-\int\frac{-1}{x}dx-\int\frac{3}{u}du$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$- -\ln\left|x\right|-\int\frac{3}{u}du$

Multiplicar $-1$ por $-1$

$\ln\left|x\right|-\int\frac{3}{u}du$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\ln\left|x\right|- 3\ln\left|u\right|$

Multiplicar $-1$ por $3$

$\ln\left|x\right|-3\ln\left|u\right|$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+1$

$\ln\left|x\right|-3\ln\left|x+1\right|$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\ln\left|x\right|-3\ln\left|x+1\right|+C_0$
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Resolver la integral $\int\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\ln\left|y\right|=\ln\left|x\right|-3\ln\left|x+1\right|+C_0$

Eliminando el logaritmo de la incógnita

$e^{\ln\left(y\right)}=e^{\left(\ln\left(x\right)-3\ln\left(x+1\right)+C_0\right)}$

Simplificando el logaritmo

$y=e^{\left(\ln\left(x\right)-3\ln\left(x+1\right)+C_0\right)}$

Simplificar $e^{\left(\ln\left(x\right)-3\ln\left(x+1\right)+C_0\right)}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos

$y=xe^{\left(-3\ln\left(x+1\right)+C_0\right)}$

Simplificar $e^{\left(-3\ln\left(x+1\right)+C_0\right)}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos

$y=e^{C_0}x\left(x+1\right)^{-3}$

Podemos expresar $e^{C_0}$ como otra constante

$y=C_1x\left(x+1\right)^{-3}$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$y=C_1x\frac{1}{\left(x+1\right)^{3}}$

Multiplicar la fracción por el término

$y=\frac{C_1x}{\left(x+1\right)^{3}}$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\frac{C_1x}{\left(x+1\right)^{3}}$

Respuesta final al problema

$y=\frac{C_1x}{\left(x+1\right)^{3}}$

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