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Calculadora de Ecuación Diferencial Separables

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Ecuación Diferencial Separables paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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atanh
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asech
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Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial separables. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\frac{dy}{dx}=1+0.01y^2$
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Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ al lado derecho de la igualdad

$\frac{1}{1+0.01y^2}dy=dx$
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Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$

$\int\frac{1}{1+0.01y^2}dy=\int1dx$

Resolver la integral aplicando la sustitución $u^2=\frac{y^2}{100}$. Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, simplificando nos queda

$u=\frac{y}{10}$

Ahora, para poder reescribir $dy$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=\frac{1}{10}dy$

Despejando $dy$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{\frac{1}{10}}=dy$

Después de reemplazar todo y simplificar, la integral nos resulta en

$10\int\frac{1}{1+u^2}du$

Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

$10\arctan\left(u\right)$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\frac{y}{10}$

$10\arctan\left(\frac{y}{10}\right)$
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Resolver la integral $\int\frac{1}{1+0.01y^2}dy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$10\arctan\left(\frac{y}{10}\right)=\int1dx$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$x$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$x+C_0$
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Resolver la integral $\int1dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$10\arctan\left(\frac{y}{10}\right)=x+C_0$

Dividir ambos lados de la ecuación por $10$

$\arctan\left(\frac{y}{10}\right)=\frac{x+C_0}{10}$

Aplicar la inversa de $\arctan\left(\frac{y}{10}\right)$ a ambos lados de la ecuación

$\tan\left(\arctan\left(\frac{y}{10}\right)\right)=\tan\left(\frac{x+C_0}{10}\right)$

Como arctan es la función inversa de la tangente, la tangente de arcotangente de $\frac{y}{10}$ es igual a $\frac{y}{10}$

$\frac{y}{10}=\tan\left(\frac{x+C_0}{10}\right)$

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $10$

$y=10\tan\left(\frac{x+C_0}{10}\right)$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=10\tan\left(\frac{x+C_0}{10}\right)$

Respuesta final al problema

$y=10\tan\left(\frac{x+C_0}{10}\right)$

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