Calculadora de Ecuación Diferencial Separable

Reescribir la expresión $\frac{1}{y^2-4}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{\left(y+2\right)\left(y-2\right)}$ en $2$ fracciones más simples

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(y+2\right)\left(y-2\right)$

Multiplicando polinomios

Simplificando

Expandir el polinomio

Asignando valores a $y$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

La integral de $\frac{1}{\left(y+2\right)\left(y-2\right)}$ en forma descompuesta equivale a

Expandir la integral $\int\left(\frac{-1}{4\left(y+2\right)}+\frac{1}{4\left(y-2\right)}\right)dy$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=2$, $x=y$ y $n=-1$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=-2$, $x=y$ y $n=1$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$