Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial exacta. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
La ecuación diferencial $5x^4dx+20y^{19}dy=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$
Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$
La derivada de la función constante ($5x^4$) es igual a cero
Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$
La derivada de la función constante ($20y^{19}$) es igual a cero
Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta
La integral de una función multiplicada por una constante ($5$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $4$
Multiplicando la fracción por el término $5$
Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración
Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener
La derivada de la función constante ($x^{5}$) es igual a cero
La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$
Calcular la derivada parcial de $x^{5}$ con respecto a $y$ para obtener
Simplificar y despejar $g'(y)$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
Reorganizar la ecuación
Igualamos $20y^{19}$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$
Integrar ambos lados con respecto a $y$
La integral de una función multiplicada por una constante ($20$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $19$
Multiplicando la fracción por el término $20$
Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados
Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a
Entonces, la solución a la ecuación diferencial es
Agrupar los términos de la ecuación
Eliminando el exponente de la incógnita
Cancelar exponentes $20$ y $1$
Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt[20]{C_0-x^{5}}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo
Combinando todas las soluciones, las $2$ soluciones de la ecuación son
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$
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