Ejemplo resuelto de ecuación diferencial exacta
Reescribir la ecuación diferencial en la forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
La ecuación diferencial $3y^2dy-2xdx=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$
Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$
La derivada de la función constante ($-2x$) es igual a cero
Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$
La derivada de la función constante ($3y^2$) es igual a cero
Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta
La integral de una función multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$
Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración
Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener
La derivada de la función constante ($-x^2$) es igual a cero
La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$
Calcular la derivada parcial de $-x^2$ con respecto a $y$ para obtener
Simplificar y despejar $g'(y)$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
Reorganizar la ecuación
Igualamos $3y^2$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$
Integrar ambos lados con respecto a $y$
La integral de una función multiplicada por una constante ($3$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados
Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a
Entonces, la solución a la ecuación diferencial es
Agrupar los términos de la ecuación
Eliminamos el exponente de la incógnita elevando ambos lados de la ecuación al exponente $\frac{1}{3}$
Dividir $1$ entre $3$
Simplificar $\sqrt[3]{y^{3}}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $3$ y $n$ es igual a $\frac{1}{3}$
Multiplicar $3$ por $\frac{1}{3}$
Multiplicar $3$ por $\frac{1}{3}$
Dividir $1$ entre $3$
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$
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