Calculadora de Ecuación Diferencial Exacta

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◻/◻

◻²

◻^◻

√◻

√

^◻√◻

^◻√

∞

log

log_◻

lim

d/dx

D^□_x

∫

∫^◻

|◻|

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

asec

acsc

sinh

cosh

tanh

coth

sech

csch

asinh

acosh

atanh

acoth

asech

acsch

 Ejercicios Difíciles

Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial exacta. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

5x^4dx+20y^{19}dy=0

La ecuación diferencial $5x^4dx+20y^{19}dy=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ , donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ . En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$

5x^4dx+20y^{19}dy=0

Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$

\frac{d}{dy}\left(5x^4\right)

La derivada de la función constante ( $5x^4$ ) es igual a cero

Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$

\frac{d}{dx}\left(20y^{19}\right)

La derivada de la función constante ( $20y^{19}$ ) es igual a cero

Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta

0=0

La integral de una función multiplicada por una constante ( $5$ ) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

5\int x^4dx

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ , donde $n$ representa a un número o función constante, como $4$

5\left(\frac{x^{5}}{5}\right)

Multiplicando la fracción por el término $5$

x^{5}

Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración

x^{5}+g(y)

Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener

x^{5}+g(y)

La derivada de la función constante ( $x^{5}$ ) es igual a cero

La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$

0+g'(y)

Calcular la derivada parcial de $x^{5}$ con respecto a $y$ para obtener

0+g'(y)

Simplificar y despejar $g'(y)$

20y^{19}=0+g

$x+0=x$ , donde $x$ es cualquier expresión

20y^{19}=g

Reorganizar la ecuación

g=20y^{19}

Igualamos $20y^{19}$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$

g'(y)=20y^{19}

Integrar ambos lados con respecto a $y$

g=\int20y^{19}dy

La integral de una función multiplicada por una constante ( $20$ ) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

g=20\int y^{19}dy

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ , donde $n$ representa a un número o función constante, como $19$

g=20\left(\frac{y^{20}}{20}\right)

Multiplicando la fracción por el término $20$

g=y^{20}

Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados

g(y)=y^{20}

Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a

f(x,y)=x^{5}+y^{20}

Entonces, la solución a la ecuación diferencial es

x^{5}+y^{20}=C_0

Agrupar los términos de la ecuación

y^{20}=C_0-x^{5}

Eliminando el exponente de la incógnita

\sqrt[20]{y^{20}}=\pm \sqrt[20]{C_0-x^{5}}

Cancelar exponentes $20$ y $1$

y=\pm \sqrt[20]{C_0-x^{5}}

Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$ , esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt[20]{C_0-x^{5}}$ . Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

y=\sqrt[20]{C_0-x^{5}},\:y=-\sqrt[20]{C_0-x^{5}}

Combinando todas las soluciones, las $2$ soluciones de la ecuación son

y=\sqrt[20]{C_0-x^{5}},\:y=-\sqrt[20]{C_0-x^{5}}

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

y=\sqrt[20]{C_0-x^{5}},\:y=-\sqrt[20]{C_0-x^{5}}

 Respuesta final al problema

y=\sqrt[20]{C_0-x^{5}},\:y=-\sqrt[20]{C_0-x^{5}}

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 Ejemplo

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 Respuesta final al problema

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