Calculadora de División sintética de polinomios

Ejemplo resuelto de división sintética de polinomios

Podemos factorizar el polinomio $x^4+x^3-6x^2-4x+8$ usando el teorema de la raíz racional, el cual indica que para un polinomio de la forma $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ existe una raíz racional de la forma $\pm\frac{p}{q}$, donde $p$ pertenece a los divisores del término independiente $a_0$, y $q$ pertenece a los divisores del coeficiente principal $a_n$. Listar todos los divisores $p$ del término independiente $a_0$, que es igual a $8$

Siguiente, listar todos los divisores del coeficiente principal $a_n$, que es igual a $1$

Las posibles raíces $\pm\frac{p}{q}$ del polinomio $x^4+x^3-6x^2-4x+8$ serán entonces

Al probar todas las posibles raíces, encontramos que $2$ es una raíz del polinomio (al reemplazarlo en el polinomio, éste se hace cero)

Ahora, dividimos el polinomio por la raíz que encontramos previamente $\left(x-2\right)$, utilizando división sintética (ó regla de Ruffini). Primero, escribimos los coeficientes de los términos del polinomio del numerador ordenados de forma descendente según el grado (si no existe tal grado se coloca un cero). Luego, bajamos el primer coeficiente $1$ y lo multiplicamos por el factor $2$. El resultado se lo sumamos al segundo coeficiente y el resultado de ésta suma la volvemos a multiplicar por $2$ y así sucesivamente

En el último renglón de la división aparecen los nuevos coeficientes, con residuo igual a cero. Reescribimos el polinomio (un grado menor) con los nuevos coeficientes obtenidos, y multiplicado por el factor $\left(x-2\right)$

Podemos factorizar el polinomio $\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$ usando el teorema de la raíz racional, el cual indica que para un polinomio de la forma $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ existe una raíz racional de la forma $\pm\frac{p}{q}$, donde $p$ pertenece a los divisores del término independiente $a_0$, y $q$ pertenece a los divisores del coeficiente principal $a_n$. Listar todos los divisores $p$ del término independiente $a_0$, que es igual a $-4$

Siguiente, listar todos los divisores del coeficiente principal $a_n$, que es igual a $1$

Las posibles raíces $\pm\frac{p}{q}$ del polinomio $\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$ serán entonces

Al probar todas las posibles raíces, encontramos que $-2$ es una raíz del polinomio (al reemplazarlo en el polinomio, éste se hace cero)

Ahora, dividimos el polinomio por la raíz que encontramos previamente $\left(x+2\right)$, utilizando división sintética (ó regla de Ruffini). Primero, escribimos los coeficientes de los términos del polinomio del numerador ordenados de forma descendente según el grado (si no existe tal grado se coloca un cero). Luego, bajamos el primer coeficiente $1$ y lo multiplicamos por el factor $-2$. El resultado se lo sumamos al segundo coeficiente y el resultado de ésta suma la volvemos a multiplicar por $-2$ y así sucesivamente

En el último renglón de la división aparecen los nuevos coeficientes, con residuo igual a cero. Reescribimos el polinomio (un grado menor) con los nuevos coeficientes obtenidos, y multiplicado por el factor $\left(x+2\right)$

Factorizar el trinomio $\left(x^{2}+x-2\right)$ encontrando dos números cuyo producto sea $-2$ y cuya suma sea $1$

Por lo tanto

Al multiplicar dos potencias de igual base ($x+2$), se pueden sumar los exponentes