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Calculadora de Diferenciación avanzada

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atanh
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asech
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1

Ejemplo resuelto de diferenciación avanzada

$\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}=9\right)$
2

Para calcular la derivada de la función implícita, procedemos a derivar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable de derivación

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\frac{d}{dx}\left(9\right)$
3

La derivada de la función constante ($9$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=0$

4

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{d}{dx}\left(\sqrt{y}\right)=0$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{2}y^{\left(\frac{1}{2}-1\right)}\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$

Restar los valores $\frac{1}{2}$ y $-1$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{2}\cdot 1y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}=0$

Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $1$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}=0$
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Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}=0$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{1}{2}x^{\left(\frac{1}{2}-1\right)}+\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}=0$

Restar los valores $\frac{1}{2}$ y $-1$

$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}=0$
7

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}=0$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\frac{1}{2}y^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)=0$

Simplificar $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$

$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}y^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)=0$
8

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}y^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)=0$
9

Agrupar los términos de la ecuación moviendo los términos que contienen la variable $y^{\prime}$ al lado izquierdo, y los que no la tienen al lado derecho

$\frac{1}{2}y^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}$
10

Multiplicando la fracción por $-1$

$\frac{1}{2}y^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)=\frac{-1}{2\sqrt{x}}$
11

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $\sqrt{y}$

$\frac{1}{2}y^{\prime}=\frac{-1}{2\sqrt{x}}\sqrt{y}$
12

Multiplicando la fracción por el término $\sqrt{y}$

$\frac{1}{2}y^{\prime}=\frac{-\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}$
13

Eliminar el $\frac{1}{2}$ del lado izquierdo, multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de $\frac{1}{2}$

$y^{\prime}=2\left(\frac{-\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}\right)$
14

Multiplicando la fracción por el término $2$

$y^{\prime}=\frac{-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

Respuesta Final

$y^{\prime}=\frac{-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

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