1
Ejemplo resuelto de diferenciación avanzada
$\frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)^{ln\left(x\right)}\right)$
2
Para derivar la función $\sin\left(x\right)^{\ln\left(x\right)}$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
$y=\sin\left(x\right)^{\ln\left(x\right)}$
3
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\sin\left(x\right)^{\ln\left(x\right)}\right)$
4
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
$\ln\left(y\right)=\ln\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right)$
5
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\right)$
6
Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=\ln\left(x\right)$ y $g=\ln\left(\sin\left(x\right)\right)$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right)+\ln\left(x\right)\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\right)$
Pasos intermedios
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right)+\ln\left(x\right)\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\right)$
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right)+\ln\left(x\right)\frac{1}{\sin\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$
7
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right)+\ln\left(x\right)\frac{1}{\sin\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$1\left(\frac{1}{y}\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{1}{y}$
8
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right)+\ln\left(x\right)\frac{1}{\sin\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$1\left(\frac{1}{y}\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{1}{y}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$1\left(\frac{1}{x}\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{1}{x}\ln\left(\sin\left(x\right)\right)$
9
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x}\ln\left(\sin\left(x\right)\right)+\ln\left(x\right)\frac{1}{\sin\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$
Explicar más este paso
10
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}+\ln\left(x\right)\frac{1}{\sin\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$
11
La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}+\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\right)\frac{1}{\sin\left(x\right)}\cos\left(x\right)$
Pasos intermedios
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$1\left(\frac{1}{y}\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{1}{y}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$1\left(\frac{1}{x}\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{1}{x}\ln\left(\sin\left(x\right)\right)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$1\ln\left(x\right)\frac{1}{\sin\left(x\right)}\cos\left(x\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\ln\left(x\right)\frac{1}{\sin\left(x\right)}\cos\left(x\right)$
12
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}+\ln\left(x\right)\frac{1}{\sin\left(x\right)}\cos\left(x\right)$
Explicar más este paso
13
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}+\frac{\ln\left(x\right)\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$
14
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$
$y^{\prime}=y\left(\frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}+\frac{\ln\left(x\right)\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\right)$
15
Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\sin\left(x\right)^{\ln\left(x\right)}$
$y^{\prime}=\left(\frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}+\frac{\ln\left(x\right)\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\right)\sin\left(x\right)^{\ln\left(x\right)}$
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La derivada de la función es entonces
$\left(\frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}+\frac{\ln\left(x\right)\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\right)\sin\left(x\right)^{\ln\left(x\right)}$
Pasos intermedios
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\frac{\cos\left(\theta \right)}{\sin\left(\theta \right)}$$=\cot\left(\theta \right)$
$\left(\frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}+\ln\left(x\right)\cot\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)^{\ln\left(x\right)}$
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Simplificar la derivada
$\left(\frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}+\ln\left(x\right)\cot\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)^{\ln\left(x\right)}$
Explicar más este paso
Respuesta Final
$\left(\frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}+\ln\left(x\right)\cot\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)^{\ln\left(x\right)}$