1
Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de diferenciación avanzada. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
$\frac{d}{dx}\left(cosh\:x\right)^{arccosh\:x}$
2
Para derivar la función $\mathrm{cosh}\left(x\right)^{\mathrm{arccosh}\left(x\right)}$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
$y=\mathrm{cosh}\left(x\right)^{\mathrm{arccosh}\left(x\right)}$
3
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)^{\mathrm{arccosh}\left(x\right)}\right)$
4
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
$\ln\left(y\right)=\mathrm{arccosh}\left(x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)$
5
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)\right)$
6
Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=\mathrm{arccosh}\left(x\right)$ y $g=\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)\right)\mathrm{arccosh}\left(x\right)$
Pasos intermedios
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{1}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)\mathrm{arccosh}\left(x\right)$
7
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{1}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)\mathrm{arccosh}\left(x\right)$
Explicar más este paso
8
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{1}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)\mathrm{arccosh}\left(x\right)$
9
Aplicando la derivada del coseno hiperbólico
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{1}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(x\right)\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{sinh}\left(x\right)$
10
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{1}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{sinh}\left(x\right)$
Pasos intermedios
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{1\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{sinh}\left(x\right)}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{sinh}\left(x\right)}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}$
11
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{sinh}\left(x\right)}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}$
Explicar más este paso
12
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\frac{\mathrm{sinh}\left(\theta \right)}{\mathrm{cosh}\left(\theta \right)}$$=\mathrm{tanh}\left(\theta \right)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
13
Aplicamos la regla: $\mathrm{arccosh}\left(\theta \right)$$=\ln\left(\theta +\sqrt{\theta ^2-1}\right)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Pasos intermedios
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{1}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)\mathrm{arccosh}\left(x\right)$
14
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\frac{d}{dx}\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2-1}\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
15
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2-1}\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{\frac{1}{2}-1}\frac{d}{dx}\left(x^2-1\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Simplificar la suma $\frac{1}{2}-1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{\frac{1-2}{2}}\frac{d}{dx}\left(x^2-1\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Sumar los valores $1$ y $-2$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x^2-1\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
16
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x^2-1\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
La derivada de la función constante ($-1$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
17
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$2\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x^{\left(2-1\right)}$
Restar los valores $2$ y $-1$
$2\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x$
18
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+2\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Multiplicar la fracción y el término en $2\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\frac{2\cdot 1}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\frac{2}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+1\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
19
Multiplicar la fracción y el término en $2\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(1+\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1\left(1+\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{1\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{sinh}\left(x\right)}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{sinh}\left(x\right)}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\left(1+\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
20
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\left(1+\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número
$\frac{1}{\left(x^2-1\right)^{\left|-\frac{1}{2}\right|}}x$
Multiplicando la fracción por el término $x$
$\frac{x}{\left(x^2-1\right)^{\left|-\frac{1}{2}\right|}}$
21
Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\left(1+\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\left(1+\frac{1x}{\sqrt{x^2-1}}\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1\left(1+\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{1\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{sinh}\left(x\right)}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{arccosh}\left(x\right)\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)+\frac{\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{sinh}\left(x\right)}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\left(1+\left(x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}x\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
22
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\right)\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
Explicar más este paso
23
Combinar todos los términos en una única fracción con $\sqrt{x^2-1}$ como común denominador
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
24
Simplificar la fracción $\frac{\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}$ por $x+\sqrt{x^2-1}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)$
25
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$
$y^{\prime}=\left(\frac{\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)\right)y$
26
Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\mathrm{cosh}\left(x\right)^{\mathrm{arccosh}\left(x\right)}$
$y^{\prime}=\left(\frac{\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)\right)\mathrm{cosh}\left(x\right)^{\mathrm{arccosh}\left(x\right)}$
27
La derivada de la función es entonces
$\left(\frac{\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)\right)\mathrm{cosh}\left(x\right)^{\mathrm{arccosh}\left(x\right)}$
Respuesta final al problema
$\left(\frac{\ln\left(\mathrm{cosh}\left(x\right)\right)}{\sqrt{x^2-1}}+\mathrm{arccosh}\left(x\right)\mathrm{tanh}\left(x\right)\right)\mathrm{cosh}\left(x\right)^{\mathrm{arccosh}\left(x\right)}$