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Calculadora de Cálculo

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Cálculo paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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coth
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csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de cálculo. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\int\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}dx$

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. En otras palabras: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$\int\frac{x^2}{\left(x^2\right)^2-1}dx$

Simplificar $\left(x^2\right)^2$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $2$

$\int\frac{x^2}{x^{2\cdot 2}-1}dx$

Multiplicar $2$ por $2$

$\int\frac{x^2}{x^{4}-1}dx$

Factorizar la diferencia de cuadrados $x^{4}-1$ como el producto de dos binomios: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$\int\frac{x^2}{-\left(\sqrt{- -1}+x^2\right)\left(\sqrt[4]{- -1}+x\right)\left(\sqrt[4]{- -1}-x\right)}dx$

Multiplicar $-1$ por $-1$

$\int\frac{x^2}{-\left(\sqrt{1}+x^2\right)\left(\sqrt[4]{- -1}+x\right)\left(\sqrt[4]{- -1}-x\right)}dx$

Multiplicar $-1$ por $-1$

$\int\frac{x^2}{-\left(\sqrt{1}+x^2\right)\left(\sqrt[4]{1}+x\right)\left(\sqrt[4]{- -1}-x\right)}dx$

Multiplicar $-1$ por $-1$

$\int\frac{x^2}{-\left(\sqrt{1}+x^2\right)\left(\sqrt[4]{1}+x\right)\left(\sqrt[4]{1}-x\right)}dx$

Calcular la potencia $\sqrt{1}$

$\int\frac{x^2}{-\left(1+x^2\right)\left(\sqrt[4]{1}+x\right)\left(\sqrt[4]{1}-x\right)}dx$

Calcular la potencia $\sqrt[4]{1}$

$\int\frac{x^2}{-\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(\sqrt[4]{1}-x\right)}dx$

Calcular la potencia $\sqrt[4]{1}$

$\int\frac{x^2}{-\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)}dx$
2

Reescribir la expresión $\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

$\int\frac{x^2}{-\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)}dx$
3

Sacar el término constante $\frac{1}{-1}$ de la integral

$-\int\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)}dx$

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)}$ en $3$ fracciones más simples

$\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)}=\frac{Ax+B}{1+x^2}+\frac{C}{1+x}+\frac{D}{1-x}$

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C, D$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)$

$x^2=\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)\left(\frac{Ax+B}{1+x^2}+\frac{C}{1+x}+\frac{D}{1-x}\right)$

Multiplicando polinomios

$x^2=\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)\left(Ax+B\right)}{1+x^2}+\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)C}{1+x}+\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)D}{1-x}$

Simplificando

$x^2=\left(1+x\right)\left(1-x\right)\left(Ax+B\right)+\left(1+x^2\right)\left(1-x\right)C+\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)D$

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=4C&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=4D&\:\:\:\:\:\:\:(x=1) \\ 4=-6A-3B-5C+15D&\:\:\:\:\:\:\:(x=2) \\ 4=6A-3B+15C-5D&\:\:\:\:\:\:\:(x=-2)\end{matrix}$

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix}0A & + & 0B & + & 4C & + & 0D & =1 \\ 0A & + & 0B & + & 0C & + & 4D & =1 \\ -6A & - & 3B & - & 5C & + & 15D & =4 \\ 6A & - & 3B & + & 15C & - & 5D & =4\end{matrix}$

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}0 & 0 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \\ -6 & -3 & -5 & 15 & 4 \\ 6 & -3 & 15 & -5 & 4\end{matrix}\right)$

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right)$

La integral de $\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\frac{-1}{2\left(1+x^2\right)}+\frac{1}{4\left(1+x\right)}+\frac{1}{4\left(1-x\right)}$
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Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+x\right)\left(1-x\right)}$ en $3$ fracciones más simples

$\frac{-1}{2\left(1+x^2\right)}+\frac{1}{4\left(1+x\right)}+\frac{1}{4\left(1-x\right)}$
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Expandir la integral $\int\left(\frac{-1}{2\left(1+x^2\right)}+\frac{1}{4\left(1+x\right)}+\frac{1}{4\left(1-x\right)}\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$-\int\frac{-1}{2\left(1+x^2\right)}dx-\int\frac{1}{4\left(1+x\right)}dx-\int\frac{1}{4\left(1-x\right)}dx$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$- \left(\frac{1}{2}\right)\int\frac{-1}{1+x^2}dx$

Multiplicar la fracción y el término en $- \left(\frac{1}{2}\right)\int\frac{-1}{1+x^2}dx$

$-\frac{1}{2}\int\frac{-1}{1+x^2}dx$

La integral de una función por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\left(-\frac{1}{2}\right)\int\frac{1}{1+x^2}dx$

Multiplicar la fracción y el término en $-\left(-\frac{1}{2}\right)\int\frac{1}{1+x^2}dx$

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x^2}dx$

Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

$\frac{1}{2}\arctan\left(x\right)$
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La integral $-\int\frac{-1}{2\left(1+x^2\right)}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\arctan\left(x\right)$

$\frac{1}{2}\arctan\left(x\right)$

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$- \left(\frac{1}{4}\right)\int\frac{1}{1+x}dx$

Multiplicar la fracción y el término en $- \left(\frac{1}{4}\right)\int\frac{1}{1+x}dx$

$-\frac{1}{4}\int\frac{1}{1+x}dx$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=1$ y $n=1$

$1\left(-\frac{1}{4}\right)\ln\left|x+1\right|$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$-\frac{1}{4}\ln\left|x+1\right|$
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La integral $-\int\frac{1}{4\left(1+x\right)}dx$ da como resultado: $-\frac{1}{4}\ln\left(x+1\right)$

$-\frac{1}{4}\ln\left(x+1\right)$

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$- \left(\frac{1}{4}\right)\int\frac{1}{1-x}dx$

Multiplicar la fracción y el término en $- \left(\frac{1}{4}\right)\int\frac{1}{1-x}dx$

$-\frac{1}{4}\int\frac{1}{1-x}dx$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{ax+b}dx$$=\frac{n}{a}\ln\left(ax+b\right)+C$, donde $a=-1$, $b=1$ y $n=1$

$-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{-1}\ln\left|-x+1\right|$

Simplificamos la expresión

$\frac{1}{4}\ln\left(-x+1\right)$
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La integral $-\int\frac{1}{4\left(1-x\right)}dx$ da como resultado: $\frac{1}{4}\ln\left(-x+1\right)$

$\frac{1}{4}\ln\left(-x+1\right)$
9

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}\arctan\left(x\right)-\frac{1}{4}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{4}\ln\left|-x+1\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\arctan\left(x\right)-\frac{1}{4}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{4}\ln\left|-x+1\right|+C_0$

Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}\arctan\left(x\right)-\frac{1}{4}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{4}\ln\left|-x+1\right|+C_0$

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