Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{\cos\left(x\right)-1}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

Por lo tanto

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

La integral de una función por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

Resolver el producto $-\left(1+t^{2}\right)$

Sacar el término constante $\frac{1}{-2}$ de la integral

Multiplicar la fracción y el término en $2\cdot \left(\frac{1}{-2}\right)\int\frac{1}{t^{2}}dt$

Reescribimos el exponente usando la regla de la potenciación $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, donde en este caso $m=0$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $-2$

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$