Respuesta Final
$\frac{\left(2x\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(2x+2\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(2x+6\right)\left(x-1\right)+x^2+6x+8\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
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Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
1
Simplificando
$\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)}\right)$
2
Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$
$\frac{\frac{d}{dx}\left(\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)\right)}{\left(\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)\right)^2}$
3
Aplicando la regla de potencia de un producto
$\frac{\frac{d}{dx}\left(\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
4
Simplificar el producto $-(x^2-16)$
$\frac{\frac{d}{dx}\left(\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
5
Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x-3\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+8\right)\frac{d}{dx}\left(x-1\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
6
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(-16\right)\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x-3\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+8\right)\frac{d}{dx}\left(x-1\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
7
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(-16\right)\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+8\right)\frac{d}{dx}\left(x-1\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
8
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(-16\right)\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)+\frac{d}{dx}\left(8\right)\right)\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+8\right)\frac{d}{dx}\left(x-1\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
9
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(-16\right)\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)+\frac{d}{dx}\left(8\right)\right)\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+8\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-1\right)\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
10
La derivada de la función constante ($-16$) es igual a cero
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)+\frac{d}{dx}\left(8\right)\right)\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+8\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-1\right)\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
11
La derivada de la función constante ($-3$) es igual a cero
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)+\frac{d}{dx}\left(8\right)\right)\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+8\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-1\right)\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
12
La derivada de la función constante ($8$) es igual a cero
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)\right)\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+8\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-1\right)\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
13
La derivada de la función constante ($-1$) es igual a cero
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)\right)\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+8\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
14
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)\right)\left(x-1\right)+x^2+6x+8\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
15
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)\right)\left(x-1\right)+x^2+6x+8\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
16
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+6\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\left(x-1\right)+x^2+6x+8\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
17
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+6\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\left(x-1\right)+x^2+6x+8\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
18
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+6\right)\left(x-1\right)+x^2+6x+8\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
19
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{\left(2x\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(2x+2\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(2x+6\right)\left(x-1\right)+x^2+6x+8\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$
Respuesta Final
$\frac{\left(2x\left(x^2+2x-3\right)+\left(x^2-16\right)\left(2x+2\right)\right)\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)+\left(-x^2+16\right)\left(x^2+2x-3\right)\left(\left(2x+6\right)\left(x-1\right)+x^2+6x+8\right)}{\left(x^2+6x+8\right)^2\left(x-1\right)^2}$