Respuesta final al problema
$\left(\frac{2x}{x^2-16}+\frac{2x+2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\frac{-2x-6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}+\frac{-1}{x-1}\right)\frac{\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)}$
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Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
Hallar la derivada usando diferenciación logarítmica Derivar usando la definición Hallar la derivada con la regla del producto Hallar la derivada con la regla del cociente Hallar la derivada Integrar por fracciones parciales Producto de Binomios con Término Común Método FOIL Integrar por cambio de variable Integrar por partes
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Pasos intermedios
1
Simplificar la derivada aplicando las propiedades de los logaritmos
$\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)}\right)$
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2
Para derivar la función $\frac{\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)}$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
$y=\frac{\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)}$
3
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\frac{\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)}\right)$
Pasos intermedios
4
Aplicar propiedades de los logaritmos a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(x^2-16\right)+\ln\left(x^2+2x-3\right)-\ln\left(x^2+6x+8\right)-\ln\left(x-1\right)$
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5
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2-16\right)+\ln\left(x^2+2x-3\right)-\ln\left(x^2+6x+8\right)-\ln\left(x-1\right)\right)$
6
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2-16\right)+\ln\left(x^2+2x-3\right)-\ln\left(x^2+6x+8\right)-\ln\left(x-1\right)\right)$
Pasos intermedios
7
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2-16\right)+\ln\left(x^2+2x-3\right)-\ln\left(x^2+6x+8\right)-\ln\left(x-1\right)\right)$
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8
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2-16\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+2x-3\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\ln\left(x^2+6x+8\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\ln\left(x-1\right)\right)$
Pasos intermedios
9
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2-16\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+2x-3\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+6x+8\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x-1\right)\right)$
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Pasos intermedios
10
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2-16\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\frac{d}{dx}\left(x^2+2x-3\right)-\left(\frac{1}{x^2+6x+8}\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+6x+8\right)-\left(\frac{1}{x-1}\right)\frac{d}{dx}\left(x-1\right)$
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11
Multiplicando la fracción por $-1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2-16\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\frac{d}{dx}\left(x^2+2x-3\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\frac{d}{dx}\left(x^2+6x+8\right)-\left(\frac{1}{x-1}\right)\frac{d}{dx}\left(x-1\right)$
12
Multiplicando la fracción por $-1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2-16\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\frac{d}{dx}\left(x^2+2x-3\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\frac{d}{dx}\left(x^2+6x+8\right)+\frac{-1}{x-1}\frac{d}{dx}\left(x-1\right)$
13
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(-16\right)\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\frac{d}{dx}\left(x^2+2x-3\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\frac{d}{dx}\left(x^2+6x+8\right)+\frac{-1}{x-1}\frac{d}{dx}\left(x-1\right)$
14
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(-16\right)\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\frac{d}{dx}\left(x^2+6x+8\right)+\frac{-1}{x-1}\frac{d}{dx}\left(x-1\right)$
15
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(-16\right)\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)+\frac{d}{dx}\left(8\right)\right)+\frac{-1}{x-1}\frac{d}{dx}\left(x-1\right)$
16
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(-16\right)\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)+\frac{d}{dx}\left(8\right)\right)+\frac{-1}{x-1}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-1\right)\right)$
17
La derivada de la función constante ($-16$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)+\frac{d}{dx}\left(8\right)\right)+\frac{-1}{x-1}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-1\right)\right)$
18
La derivada de la función constante ($-3$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)+\frac{d}{dx}\left(8\right)\right)+\frac{-1}{x-1}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-1\right)\right)$
19
La derivada de la función constante ($8$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)\right)+\frac{-1}{x-1}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-1\right)\right)$
20
La derivada de la función constante ($-1$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)\right)+\frac{-1}{x-1}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Pasos intermedios
21
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)\right)+\frac{-1}{x-1}$
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Pasos intermedios
22
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(6x\right)\right)+\frac{-1}{x-1}$
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Pasos intermedios
23
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+6\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)+\frac{-1}{x-1}$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
24
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+6\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)+\frac{-1}{x-1}$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
25
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2-16}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+6\right)+\frac{-1}{x-1}$
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Pasos intermedios
26
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{x^2-16}\right)x+\frac{1}{x^2+2x-3}\left(2x+2\right)+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(2x+6\right)+\frac{-1}{x-1}$
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Pasos intermedios
27
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2x}{x^2-16}+\frac{2x+2}{x^2+2x-3}+\frac{-1}{x^2+6x+8}\left(2x+6\right)+\frac{-1}{x-1}$
Explicar más este paso
28
Multiplicando la fracción por el término $2x+6$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2x}{x^2-16}+\frac{2x+2}{x^2+2x-3}+\frac{-\left(2x+6\right)}{x^2+6x+8}+\frac{-1}{x-1}$
29
Factorizar el trinomio $x^2+2x-3$ encontrando dos números cuyo producto sea $-3$ y cuya suma sea $2$
$\begin{matrix}\left(-1\right)\left(3\right)=-3\\ \left(-1\right)+\left(3\right)=2\end{matrix}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2x}{x^2-16}+\frac{2x+2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\frac{-\left(2x+6\right)}{x^2+6x+8}+\frac{-1}{x-1}$
31
Factorizar el trinomio $x^2+6x+8$ encontrando dos números cuyo producto sea $8$ y cuya suma sea $6$
$\begin{matrix}\left(2\right)\left(4\right)=8\\ \left(2\right)+\left(4\right)=6\end{matrix}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2x}{x^2-16}+\frac{2x+2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\frac{-\left(2x+6\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}+\frac{-1}{x-1}$
33
Simplificar el producto $-(2x+6)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2x}{x^2-16}+\frac{2x+2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\frac{-2x-6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}+\frac{-1}{x-1}$
34
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$
$y^{\prime}=\left(\frac{2x}{x^2-16}+\frac{2x+2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\frac{-2x-6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}+\frac{-1}{x-1}\right)y$
35
Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\frac{\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)}$
$y^{\prime}=\left(\frac{2x}{x^2-16}+\frac{2x+2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\frac{-2x-6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}+\frac{-1}{x-1}\right)\frac{\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)}$
36
La derivada de la función es entonces
$\left(\frac{2x}{x^2-16}+\frac{2x+2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\frac{-2x-6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}+\frac{-1}{x-1}\right)\frac{\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)}$
Respuesta final al problema
$\left(\frac{2x}{x^2-16}+\frac{2x+2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\frac{-2x-6}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}+\frac{-1}{x-1}\right)\frac{\left(x^2-16\right)\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x^2+6x+8\right)\left(x-1\right)}$