$-1-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)+\left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x-1\right)+C_0$
Integrales inmediatas o directas
Integrales por cambio de variable
Integrales por partes
Integrales por sustitución trigonométrica
Integrales por fracciones parciales
Integración por Método Tabular
1
Reescribimos la fracción $\frac{x}{x^2-1}$ dentro de la integral como un producto: $x\frac{1}{x^2-1}$
$\int x\frac{1}{x^2-1}dx$
2
Podemos resolver la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
3
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
4
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\frac{1}{x^2-1}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \frac{1}{x^2-1}dx}\end{matrix}$
$v=\int\frac{1}{x^2-1}dx$
6
Factorizar la diferencia de cuadrados $x^2-1$ como el producto de dos binomios conjugados
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
7
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples
$\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
8
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$
$1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\right)$
9
Multiplicando polinomios
$1=\frac{A\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}+\frac{B\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}$
$1=A\left(x-1\right)+B\left(x+1\right)$
12
Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
$\begin{matrix}1=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1)\end{matrix}$
13
Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales
$\begin{matrix} -2A & + & 0B & =1 \\ 0A & + & 2B & =1\end{matrix}$
14
Reescribimos los coeficientes en forma de matriz
$\left(\begin{matrix}-2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$
15
Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan
$\left(\begin{matrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$
16
La integral de $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a
$\int\left(\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}\right)dx$
17
Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left|x+b\right|$, donde $b=1$ y $n=-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\int\frac{\frac{1}{2}}{x-1}dx$
18
Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left|x+b\right|$, donde $b=-1$ y $n=\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$
19
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)-\int-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)dx-\int\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)dx$
20
La integral $\int\ln\left(x+1\right)dx$ da como resultado $\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-\left(x+1\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
21
La integral $\int\ln\left(x-1\right)dx$ da como resultado $\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)$
23
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)+C_0$
24
Resolver el producto $\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)+C_0$
25
Resolver el producto $\frac{1}{2}\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)+C_0$
26
Resolver el producto $\frac{1}{2}\left(-x-1\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)+C_0$
27
Resolver el producto $-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-\frac{1}{2}\left(-x+1\right)+C_0$
28
Resolver el producto $-\frac{1}{2}\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x-1\right)-\frac{1}{2}\left(-x+1\right)+C_0$
29
Resolver el producto $-\frac{1}{2}\left(-x+1\right)$
$-1-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}x+C_0$
30
Reduciendo términos semejantes $-\frac{1}{2}x$ y $\frac{1}{2}x$
$-1-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)+\left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x-1\right)+C_0$
$-1-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)+\left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(x-1\right)+C_0$