👉 Descarga ya NerdPal! Nuestra nueva app de mates en iOS y Android

Calcular la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$

Solución Paso a paso

Go!
Modo simbólico
Modo texto
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta final al problema

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$
¿Tienes otra respuesta? Verifícala aquí!

Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Integrar por partes
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
  • Cargar más...
¿No encuentras un método? Dinos para que podamos agregarlo.
1

Reescribimos la fracción $\frac{x}{x^2-1}$ dentro de la integral como un producto de dos funciones: $x\frac{1}{x^2-1}$

$\int x\frac{1}{x^2-1}dx$
2

Podemos resolver la integral $\int x\frac{1}{x^2-1}dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
3

Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
4

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\frac{1}{x^2-1}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \frac{1}{x^2-1}dx}\end{matrix}$
5

Calcular la integral para hallar $v$

$v=\int\frac{1}{x^2-1}dx$
6

Factorizar la diferencia de cuadrados $x^2-1$ como el producto de dos binomios conjugados

$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
7

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
8

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

$1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\right)$
9

Multiplicando polinomios

$1=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)A}{x+1}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)B}{x-1}$
10

Simplificando

$1=\left(x-1\right)A+\left(x+1\right)B$
11

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1)\end{matrix}$
12

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix} -2A & + & 0B & =1 \\ 0A & + & 2B & =1\end{matrix}$
13

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$
14

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$
15

La integral de $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{-1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}\right)dx$
16

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x+1}dx+\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$
17

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x+1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$
18

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=1$ y $n=-1$

$\left(\frac{1}{2}\right)\left(-1\right)\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$
19

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=-1$ y $n=1$

$-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\cdot 1\ln\left(x-1\right)$
20

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)x+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
21

Multiplicar el término $x$ por cada término del polinomio $\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)$

$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
22

La integral $\int\ln\left(x+1\right)dx$ da como resultado $\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-\left(x+1\right)$

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
23

La integral $\int\ln\left(x-1\right)dx$ da como resultado $\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-\left(x-1\right)\right)$
24

Simplificamos la expresión

$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)$
25

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$

Respuesta final al problema

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

¡Ayúdanos a mejorar con tu opinión!

Gráfico de la Función

Gráfico de: $-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$

SnapXam A2
Answer Assistant

beta
¿Tu respuesta es distinta? ¡Compruébala!

Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Cómo mejorar tu respuesta:

Tema Principal: Factorizar

Factorizar la expresión.

Tutor de Mates y Física. Potenciado por IA

Disponible 24/7, 365.

Soluciones paso a paso ilimitadas. Sin anuncios.

Prepárate para los exámenes en menor tiempo.

Incluye múltiples métodos de resolución.

Cubrimos más de 100 temas de mates.

Acceso premium en nuestras apps de iOS y Android.

Escoge tu plan de suscripción:
Paga $39.97 USD de forma segura con tu método de pago.
Por favor espera mientras se procesa tu pago.
Crear una Cuenta