Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Método de resolución
Reescribimos la fracción $\frac{x}{x^2-1}$ dentro de la integral como un producto de dos funciones: $x\frac{1}{x^2-1}$
Podemos resolver la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
Aplicando la regla de potencia de una potencia
Factorizar la diferencia de cuadrados $x^2-1$ como el producto de dos binomios conjugados
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$
Multiplicando polinomios
Simplificando
Expandir el polinomio
Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales
Reescribimos los coeficientes en forma de matriz
Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan
La integral de $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a
Podemos resolver la integral $\int\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+1$
Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left(x+b\right)$, donde $b=1$ y $n=-\frac{1}{2}$
Podemos resolver la integral $\int\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+1$
Podemos resolver la integral $\int\frac{\frac{1}{2}}{x-1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x-1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x-1$
Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left(x+b\right)$, donde $b=-1$ y $n=\frac{1}{2}$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Podemos resolver la integral $\int\ln\left(x+1\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral del logaritmo natural está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\ln(x)dx=x\ln(x)-x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+1$
Resolver el producto $-(x+1)$
La integral $\int\ln\left(x+1\right)dx$ da como resultado $\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-\left(x+1\right)$
Podemos resolver la integral $\int\ln\left(x+1\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral del logaritmo natural está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\ln(x)dx=x\ln(x)-x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+1$
Resolver el producto $-(x+1)$
Podemos resolver la integral $\int\ln\left(x-1\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x-1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral del logaritmo natural está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\ln(x)dx=x\ln(x)-x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x-1$
Resolver el producto $-(x-1)$
La integral $\int\ln\left(x-1\right)dx$ da como resultado $\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$
Resolver el producto $-(x+1)$
Resolver el producto $-(x-1)$
Simplificando
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
