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Calcular la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$

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Respuesta final al problema

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

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  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
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  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
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Reescribimos la fracción $\frac{x}{x^2-1}$ dentro de la integral como un producto de dos funciones: $x\frac{1}{x^2-1}$

$\int x\frac{1}{x^2-1}dx$
2

Podemos resolver la integral $\int x\frac{1}{x^2-1}dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$1$
3

Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
4

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\frac{1}{x^2-1}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \frac{1}{x^2-1}dx}\end{matrix}$
5

Calcular la integral para hallar $v$

$v=\int\frac{1}{x^2-1}dx$

Simplificar $\sqrt{x^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$

$\int\frac{1}{\left(x+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{x^2}-\sqrt{1}\right)}dx$

Calcular la potencia $\sqrt{1}$

$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x^2}-\sqrt{1}\right)}dx$

Simplificar $\sqrt{x^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$

$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-\sqrt{1}\right)}dx$

Calcular la potencia $\sqrt{1}$

$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x- 1\right)}dx$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
6

Factorizar la diferencia de cuadrados $x^2-1$ como el producto de dos binomios conjugados

$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

$1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\right)$

Multiplicando polinomios

$1=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)A}{x+1}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)B}{x-1}$

Simplificando

$1=\left(x-1\right)A+\left(x+1\right)B$

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1)\end{matrix}$

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix} -2A & + & 0B & =1 \\ 0A & + & 2B & =1\end{matrix}$

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$

La integral de $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\frac{-1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}$
7

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{-1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}$
8

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x+1}dx+\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$
9

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x+1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$
10

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=1$ y $n=-1$

$-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$
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Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=-1$ y $n=1$

$-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+1\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(x-1\right)$

Expandir la integral $\int\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)x- \left(-\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x+1\right)dx- \left(\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x-1\right)dx$

Multiplicar la fracción y el término en $- \left(-\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x+1\right)dx$

$\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)x+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx- \left(\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x-1\right)dx$

Multiplicar la fracción y el término en $- \left(\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x-1\right)dx$

$\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)x+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
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Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)x+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
13

Multiplicar el término $x$ por cada término del polinomio $\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)$

$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
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La integral $\int\ln\left(x+1\right)dx$ da como resultado $\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-\left(x+1\right)$

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
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La integral $\int\ln\left(x-1\right)dx$ da como resultado $\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-\left(x-1\right)\right)$

Simplificar el producto $-(x+1)$

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-\left(x-1\right)\right)$

Simplificar el producto $-(x-1)$

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)$
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Simplificamos la expresión

$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$

Respuesta final al problema

$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$

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Gráfico de: $-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)+C_0$

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