Solución Paso a paso

Derivar usando el método de diferenciación logarítmica $\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$

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+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$

Elige el método de resolución

1

Para derivar la función ${x}^{x}$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación

$y=x^x$
2

Aplicar logaritmos a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(x^x\right)$
3

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\ln\left(y\right)=x\ln\left(x\right)$
4

Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)\right)$
5

Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=x$ y $g=\ln\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
6

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
7

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
8

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
9

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
10

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+\frac{x}{x}$
11

Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+1$
12

Dividir ambos lados de la ecuación por $\frac{1}{y}$

$y^{\prime}=y\left(\ln\left(x\right)+1\right)$
13

Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $x^x$

$y^{\prime}=x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$
14

La derivada de la función es entonces

$x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$

Respuesta Final

$x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$
$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$

Fórmulas relacionadas:

3. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.03 s (SnapXam)