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Derivar usando el método de diferenciación logarítmica $\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$

Especifica el método de resolución

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Para derivar la función $x^x$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación

$y=x^x$
2

Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(x^x\right)$
3 Intenta adivinar el Paso 3. O adquiere premium por el precio de un café.
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Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)\right)$
5

Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=x$ y $g=\ln\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
6 Intenta adivinar el Paso 6. O adquiere premium por el precio de un café.
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La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=1\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

$1y^{\prime}\left(\frac{1}{y}\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
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Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
9 Intenta adivinar el Paso 9. O adquiere premium por el precio de un café.

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=1\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

$1y^{\prime}\left(\frac{1}{y}\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+1x\frac{1}{x}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+\frac{x}{x}$
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Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+\frac{x}{x}$
11

Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+1$
12 Intenta adivinar el Paso 12. O adquiere premium por el precio de un café.
13

Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $x^x$

$y^{\prime}=x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$
14

La derivada de la función es entonces

$x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$

Respuesta Final

$x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$

Explora distintas formas de resolver este problema

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