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Derivar usando el método de diferenciación logarítmica $\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$
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Solución explicada paso por paso

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Para derivar la función $x^x$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación

$y=x^x$
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Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(x^x\right)$
3

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\ln\left(y\right)=x\ln\left(x\right)$
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Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)\right)$
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Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
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Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
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La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
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Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
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Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}$
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Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln\left(x\right)+\frac{x}{x}$
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Simplificar la fracción

$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln\left(x\right)+1$
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Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$

$y^{\prime}=\left(\ln\left(x\right)+1\right)y$
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Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $x^x$

$y^{\prime}=\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$
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La derivada de la función es entonces

$\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$

Respuesta final al problema

$\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$

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