Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$
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Solución explicada paso por paso

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Podemos reconocer que la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ es una ecuación diferencial de Bernoulli ya que se encuentra escrita de la forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$, donde $n$ es cualquier número real diferente de $0$ y $1$. Para resolver esta ecuación, podemos aplicar la siguiente sustitución. Definamos una nueva variable $u$ y asignémosle el siguiente valor

$u=y^{\left(1-n\right)}$
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Reemplazamos el valor de $n$, que equivale a $-1$

$u=y^{\left(1+1\right)}$
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Simplificar

$u=y^{2}$

Reorganizar la ecuación

$y^{2}=u$

Elevar ambos miembros de la ecuación al exponente $\frac{1}{2}$

$y=\sqrt{u}$
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Despejamos la variable dependiente $y$

$y=\sqrt{u}$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$
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Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable independiente $x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$
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Ahora, sustituimos $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ y $y=\sqrt{u}$ en la ecuación diferencial original

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
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Simplificar

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
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Necesitamos cancelar el término que esta al frente de $\frac{du}{dx}$. Podemos hacerlo multiplicando toda la ecuación diferencial por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)$
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Multiplicar ambos lados por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}$

Multiplicando polinomios $\frac{1}{2}\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}$

$\frac{1}{4}\sqrt{u}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{1}{2}\sqrt{u}\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{1}{2}\frac{x}{3\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{4}\sqrt{u}\frac{1}{\sqrt{u}}\frac{du}{dx}+\frac{1}{2}\sqrt{u}\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{1}{2}\frac{x}{3\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicando fracciones $\frac{1}{4} \times \frac{1}{\sqrt{u}}$

$\frac{1}{4\sqrt{u}}\sqrt{u}\frac{du}{dx}+\frac{1}{2}\sqrt{u}\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{1}{2}\frac{x}{3\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicando fracciones $\frac{1}{2} \times \frac{-\sqrt{u}}{x}$

$\frac{1}{4\sqrt{u}}\sqrt{u}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{2x}\sqrt{u}=\frac{1}{2}\frac{x}{3\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicando fracciones $\frac{x}{3\sqrt{u}} \times \frac{1}{2}$

$\frac{1}{4\sqrt{u}}\sqrt{u}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{2x}\sqrt{u}=\frac{x}{6\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicando la fracción por el término $\sqrt{u}$

$\frac{1}{4\sqrt{u}}\sqrt{u}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicando la fracción por el término $\sqrt{u}$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x\sqrt{u}}{6\sqrt{u}}$

Simplificar la fracción $\frac{x\sqrt{u}}{6\sqrt{u}}$ por $u$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{xu^{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)}}{6}$

Combinar las fracciones con denominador común $2$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{xu^{\frac{1-1}{2}}}{6}$

Sumar los valores $1$ y $-1$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{xu^{\frac{0}{2}}}{6}$

Dividir $0$ entre $2$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{xu^{0}}{6}$

Cualquier expresión matemática elevada a la potencia $0$ es igual a $1$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}$
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Expandir y simplificar. Ahora, vemos que la ecuación diferencial tiene la forma de una ecuación diferencial lineal, ya que hemos removido el término $y^{-1}$ que estaba multiplicando en la ecuación original

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}$

Dividir todos los términos de la ecuación entre $\frac{1}{4}$

$\frac{du}{dx}+\frac{\frac{-u}{2x}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{x}{6}}{\frac{1}{4}}$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{-u}{2x}}{\frac{1}{4}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{\frac{x}{6}}{\frac{1}{4}}$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{x}{6}}{\frac{1}{4}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{x}{\frac{3}{2}}$

Dividir las fracciones $\frac{x}{\frac{3}{2}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}$
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Dividir todos los términos de la ecuación entre $\frac{1}{4}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}$
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Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ y $Q(x)=\frac{2x}{3}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcular la integral

$\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx$

Dividir las fracciones $\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\int\frac{-2}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-2\ln\left|x\right|$
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Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx=-2\ln\left(x\right)$

Simplificar $e^{-2\ln\left|x\right|}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos

$x^{-2}$
14

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^{-2}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{du}{dx}x^{-2}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}x^{-2}=\frac{2xx^{-2}}{3}$

Multiplicando la fracción por el término $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=\frac{4x}{6}$

Multiplicando la fracción por el término $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{- 4u}{2x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Multiplicar $-1$ por $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-4u}{2x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Sacar el $\frac{-4}{2}$ de la fracción

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Sacar el $\frac{4}{6}$ de la fracción

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=\frac{2}{3}x$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $2xx^{-2}$

$\frac{du}{dx}x^{-2}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}x^{-2}=\frac{2x^{-2+1}}{3}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $2xx^{-2}$

$2x^{-2+1}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $2xx^{-2}$

$2x^{-2+1}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $2xx^{-2}$

$2x^{-2+1}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $2xx^{-2}$

$2x^{-2+1}$

Sumar los valores $-2$ y $1$

$2x^{-1}$

Sumar los valores $-2$ y $1$

$2x^{-1}$

Sumar los valores $-2$ y $1$

$2x^{-1}$

Sumar los valores $-2$ y $1$

$2x^{-1}$

Sumar los valores $-2$ y $1$

$\frac{du}{dx}x^{-2}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}x^{-2}=\frac{2x^{-1}}{3}$

Dividir las fracciones $\frac{-u}{\frac{1}{2}x}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\frac{- 2u}{x}x^{-2}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{x^{-2}-2u}{x}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{du}{dx}x^{-2}+\frac{-2ux^{-2}}{x}=\frac{2x^{-1}}{3}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{x^{-2}- 2u}{x}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{du}{dx}x^{-2}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}x^{-2}=\frac{2xx^{-2}}{3}$

Multiplicando la fracción por el término $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=\frac{4x}{6}$

Multiplicando la fracción por el término $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{- 4u}{2x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Multiplicar $-1$ por $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-4u}{2x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Sacar el $\frac{-4}{2}$ de la fracción

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Sacar el $\frac{4}{6}$ de la fracción

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=\frac{2}{3}x$

Multiplicar $-1$ por $2$

$\frac{x^{-2}-2u}{x}$

Simplificar la fracción $\frac{-2ux^{-2}}{x}$ por $x$

$\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}$
15

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}$
16

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2x^{-1}}{3}$
17

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
18

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^{-2}u=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
19

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x^{1}}dx$
20

Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x}dx$

Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral

$\frac{1}{3}\int\frac{2}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$2\left(\frac{1}{3}\right)\ln\left|x\right|$

Multiplicar la fracción y el término en $2\left(\frac{1}{3}\right)\ln\left|x\right|$

$\frac{2}{3}\ln\left|x\right|$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
21

Resolver la integral $\int\frac{2}{3x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
22

Reemplazar $u$ con el valor $y^{2}$

$x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{x^{\left|-2\right|}}y^{2}$

Multiplicando la fracción por el término $y^{2}$

$\frac{y^{2}}{x^{\left|-2\right|}}$
23

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{x^{2}}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{1y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
24

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$

Aplicar la propiedad del cociente de dos potencias con mismo exponente, de manera inversa: $\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b}\right)^m$, donde $m$ vale $2$

$\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$

Eliminando el exponente de la incógnita

$\sqrt{\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$

Cancelar exponentes $2$ y $1$

$\frac{y}{x}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$

Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$\frac{y}{x}=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0},\:\frac{y}{x}=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$

Resolver la ecuación ($1$)

$\frac{y}{x}=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $x$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Resolver la ecuación ($2$)

$\frac{y}{x}=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $x$

$y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Combinando todas las soluciones, las $2$ soluciones de la ecuación son

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Respuesta final al problema

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

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Gráfico de: $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}+\frac{-x}{3y}$

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