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Solución Paso a paso

Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}-\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{x}{3y}$

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Respuesta Final

$y=\sqrt{\frac{2}{3}x^{2}\ln\left(x\right)+C_0x^{2}},\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}x^{2}\ln\left(x\right)+C_0x^{2}}$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{dy}{dx}\:-\frac{y}{x}=\frac{x}{3y}$

Elige el método de resolución

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Podemos reconocer que la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ es una ecuación diferencial de Bernoulli ya que se encuentra escrita de la forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$, donde $n$ es cualquier número real diferente de $0$ y $1$. Para resolver esta ecuación, podemos aplicar la siguiente sustitución. Definamos una nueva variable $u$ y asignémosle el siguiente valor

$u=y^{\left(1-n\right)}$
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Reemplazamos el valor de $n$, que equivale a $-1$

$u=y^{\left(1-1\cdot -1\right)}$
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Simplificar

$u=y^{2}$

Reorganizar la ecuación

$y^{2}=u$

Eliminando el exponente de la incógnita

$y=\pm \sqrt{u}$

Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{u}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$y=\sqrt{u},\:y=-\sqrt{u}$

Tomemos únicamente la primera ecuación

$y=\sqrt{u}$
4

Despejamos la variable dependiente $y$

$y=\sqrt{u}$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$
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Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable independiente $x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$
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Ahora, sustituimos $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ y $y=\sqrt{u}$ en la ecuación diferencial original

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
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Simplificar

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
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Necesitamos cancelar el término que esta al frente de $\frac{du}{dx}$. Podemos hacerlo multiplicando toda la ecuación diferencial por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)$
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Multiplicar ambos lados por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}$

Multiplicando polinomios $\frac{1}{2}\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}$

$\frac{1}{4}u^{-\frac{1}{2}}\sqrt{u}\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-\frac{1}{2}u}{x}=\frac{\frac{1}{6}x\sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes

$\frac{1}{4}\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-\frac{1}{2}u}{x}=\frac{\frac{1}{6}x\sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Simplificar la fracción $\frac{\frac{1}{6}x\sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ por $u$

$\frac{1}{4}\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-\frac{1}{2}u}{x}=\frac{1}{6}x$
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Expandir y simplificar. Ahora, vemos que la ecuación diferencial tiene la forma de una ecuación diferencial lineal, ya que hemos removido el término $y^{-1}$ que estaba multiplicando en la ecuación original

$\frac{1}{4}\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-\frac{1}{2}u}{x}=\frac{1}{6}x$
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Dividir todos los términos de la ecuación diferencial por $\frac{1}{4}$

$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}\frac{du}{dx}+\frac{\frac{-\frac{1}{2}u}{x}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{6}x}{\frac{1}{4}}$

Dividir $\frac{1}{4}$ entre $\frac{1}{4}$

$1\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{\frac{-\frac{1}{2}u}{x}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{6}x}{\frac{1}{4}}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{du}{dx}+\frac{\frac{-\frac{1}{2}u}{x}}{\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}x$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{-\frac{1}{2}u}{x}}{\frac{1}{4}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-2u}{x}=\frac{2}{3}x$
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Simplificando

$\frac{du}{dx}+\frac{-2u}{x}=\frac{2}{3}x$
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Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{-2}{x}$ y $Q(x)=\frac{2}{3}x$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcular la integral

$\int\frac{-2}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-2\ln\left(x\right)$
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Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-2}{x}dx=-2\ln\left(x\right)$

Simplificar $e^{-2\ln\left(x\right)}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos

$x^{-2}$
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Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^{-2}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\frac{2}{3}xx^{-2}$

$x^{-2}\frac{du}{dx}+x^{-2}\frac{-2u}{x}=\frac{2}{3}x^{-1}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$x^{-2}\frac{du}{dx}+\frac{-2ux^{-2}}{x}=\frac{2}{3}x^{-1}$

Simplificar la fracción $\frac{-2ux^{-2}}{x}$ por $x$

$x^{-2}\frac{du}{dx}-2ux^{-3}=\frac{2}{3}x^{-1}$
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Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$x^{-2}\frac{du}{dx}-2ux^{-3}=\frac{2}{3}x^{-1}$
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Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2}{3}x^{-1}$
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Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2}{3}x^{-1}dx$
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Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3}x^{-1}dx$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$\frac{2}{3}\int x^{-1}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\frac{2}{3}\ln\left(x\right)$

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia de manera inversa: $n\log_b(a)=\log_b(a^n)$

$\ln\left(\sqrt[3]{x^{2}}\right)$

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\frac{2}{3}\ln\left(x\right)$
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Resolver la integral $\int\frac{2}{3}x^{-1}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
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Reemplazar $u$ con el valor $y^{2}$

$x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
23

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia de manera inversa: $n\log_b(a)=\log_b(a^n)$

$x^{-2}y^{2}=\ln\left(\sqrt[3]{x^{2}}\right)+C_0$
24

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$

Multiplicar la ecuación por el recíproco de $x^{-2}$

$y^{2}=x^{2}\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)$

Eliminando el exponente de la incógnita

$y=\pm \sqrt{x^{2}\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)}$

Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{x^{2}\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$y=\sqrt{x^{2}\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)},\:y=-\sqrt{x^{2}\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)}$

Multiplicar el término $x^{2}$ por cada término del polinomio $\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}x^{2}\ln\left(x\right)+C_0x^{2}},\:y=-\sqrt{x^{2}\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)}$

Multiplicar el término $x^{2}$ por cada término del polinomio $\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}x^{2}\ln\left(x\right)+C_0x^{2}},\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}x^{2}\ln\left(x\right)+C_0x^{2}}$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial

$y=\sqrt{\frac{2}{3}x^{2}\ln\left(x\right)+C_0x^{2}},\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}x^{2}\ln\left(x\right)+C_0x^{2}}$

Respuesta Final

$y=\sqrt{\frac{2}{3}x^{2}\ln\left(x\right)+C_0x^{2}},\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}x^{2}\ln\left(x\right)+C_0x^{2}}$
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Tips para mejorar tu respuesta:

$\frac{dy}{dx}\:-\frac{y}{x}=\frac{x}{3y}$

Tema principal:

Ecuaciones Diferenciales

Fórmulas Relacionadas:

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Tiempo para resolverlo:

~ 0.37 s