Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Podemos reconocer que la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ es una ecuación diferencial de Bernoulli ya que se encuentra escrita de la forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$, donde $n$ es cualquier número real diferente de $0$ y $1$. Para resolver esta ecuación, podemos aplicar la siguiente sustitución. Definamos una nueva variable $u$ y asignémosle el siguiente valor
Reemplazamos el valor de $n$, que equivale a $-1$
Simplificar
Reorganizar la ecuación
Eliminando el exponente de la incógnita
Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{u}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo
Tomemos únicamente la primera ecuación
Despejamos la variable dependiente $y$
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable independiente $x$
Ahora, sustituimos $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ y $y=\sqrt{u}$ en la ecuación diferencial original
Simplificar
Necesitamos cancelar el término que esta al frente de $\frac{du}{dx}$. Podemos hacerlo multiplicando toda la ecuación diferencial por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$
Multiplicar ambos lados por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$
Multiplicando polinomios $\frac{1}{2}\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}$
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes
Simplificar la fracción $\frac{\frac{1}{6}x\sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ por $u$
Expandir y simplificar. Ahora, vemos que la ecuación diferencial tiene la forma de una ecuación diferencial lineal, ya que hemos removido el término $y^{-1}$ que estaba multiplicando en la ecuación original
Dividir todos los términos de la ecuación diferencial por $\frac{1}{4}$
Dividir $\frac{1}{4}$ entre $\frac{1}{4}$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Dividir las fracciones $\frac{\frac{-\frac{1}{2}u}{x}}{\frac{1}{4}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$
Simplificando
Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{-2}{x}$ y $Q(x)=\frac{2}{3}x$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$
Calcular la integral
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$
Simplificar $e^{-2\ln\left(x\right)}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos
Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\frac{2}{3}xx^{-2}$
Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$
Simplificar la fracción $\frac{-2ux^{-2}}{x}$ por $x$
Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar
Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$
Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$
Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia de manera inversa: $n\log_b(a)=\log_b(a^n)$
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
Resolver la integral $\int\frac{2}{3}x^{-1}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Reemplazar $u$ con el valor $y^{2}$
Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia de manera inversa: $n\log_b(a)=\log_b(a^n)$
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
Multiplicar la ecuación por el recíproco de $x^{-2}$
Eliminando el exponente de la incógnita
Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{x^{2}\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo
Multiplicar el término $x^{2}$ por cada término del polinomio $\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)$
Multiplicar el término $x^{2}$ por cada término del polinomio $\left(\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0\right)$
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial