Ejemplo resuelto de serie de potencias
Reescribir la función $\arctan\left(x\right)$ como su representación en expansión de Series de Maclaurin
Traer el denominador $x$ hacia dentro de la serie de potencias
Multiplicando la fracción por el término $x^{\left(2n+1\right)}$
Dividir las fracciones $\frac{\frac{{\left(-1\right)}^nx^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}}{x}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$
Simplificar la fracción $\frac{{\left(-1\right)}^nx^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)x}$ por $x$
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Podemos reescribir la serie de potencias de la siguiente forma
La integral de una función multiplicada por una constante (${\left(-1\right)}^n$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Multiplicando la fracción por el término ${\left(-1\right)}^n$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Simplificamos la expresión dentro de la integral
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2n$
Multiplicando fracciones $\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1} \times \frac{x^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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