Calculadora de Regla de cambio de base de logaritmos

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(◻)

◻/◻

◻²

◻^◻

√◻

√

^◻√◻

^◻√

∞

log

log_◻

lim

d/dx

D^□_x

∫

∫^◻

|◻|

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

asec

acsc

sinh

cosh

tanh

coth

sech

csch

asinh

acosh

atanh

acoth

asech

acsch

 Ejemplo

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Ejemplo resuelto de regla de cambio de base de logaritmos

$\lim_{x\to0}\left(\frac{5^x-1}{\ln\left(1+x\right)}\right)$

Insertar el valor $0$ en el límite

$\frac{5^0-1}{\ln\left(1+0\right)}$

Calcular la potencia $5^0$

$\frac{1-1}{\ln\left(1+0\right)}$

Restar los valores $1$ y $-1$

$\frac{0}{\ln\left(1+0\right)}$

Sumar los valores $1$ y $0$

$\frac{0}{\ln\left(1\right)}$

Calculando el logaritmo natural de $1$

$\frac{0}{0}$

Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{5^x-1}{\ln\left(1+x\right)}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(5^x-1\right)}{\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+x\right)\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(5^x-1\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(5^x\right)+\frac{d}{dx}\left(-1\right)$

La derivada de la función constante ($-1$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(5^x\right)$

Aplicando la derivada de la función exponencial

$\ln\left(5\right)5^x\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\ln\left(5\right)5^x$

Calculando el logaritmo natural de $5$

$\ln\left(5\right)5^x$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+x\right)\right)$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{1+x}\frac{d}{dx}\left(1+x\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{1}{1+x}\left(\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{1}{1+x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{1}{1+x}$

Dividir las fracciones $\frac{\ln\left(5\right)5^x}{\frac{1}{1+x}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\lim_{x\to0}\left(\ln\left(5\right)5^x\left(1+x\right)\right)$

Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$\lim_{x\to0}\left(\ln\left(5\right)5^x\left(1+x\right)\right)$

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

$\ln\left(5\right)\lim_{x\to0}\left(5^x\left(1+x\right)\right)$

Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to0}\left(5^x\left(1+x\right)\right)$ por $x$

$\ln\left(5\right)\cdot 5^0\cdot \left(1+0\right)$

Sumar los valores $1$ y $0$

$\ln\left(5\right)\cdot 5^0$

Calcular la potencia $5^0$

$\ln\left(5\right)$

 Respuesta Final