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Calculadora de Precálculo

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Ejemplo resuelto de diferenciación logarítmica

$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$
2

Para derivar la función ${x}^{x}$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación

$y=x^x$
3

Aplicar logaritmos a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(x^x\right)$
4

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\ln\left(y\right)=x\ln\left(x\right)$
5

Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)\right)$
6

Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=x$ y $g=\ln\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=1\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
7

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
8

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=1\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

$1y^{\prime}\left(\frac{1}{y}\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
9

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
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La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=1\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

$1y^{\prime}\left(\frac{1}{y}\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+1x\frac{1}{x}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+\frac{x}{x}$
11

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+\frac{x}{x}$
12

Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\ln\left(x\right)+1$

$y^{\prime}=\frac{\ln\left(x\right)+1}{\frac{1}{y}}$

Dividir las fracciones $\frac{\ln\left(x\right)+1}{\frac{1}{y}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$y^{\prime}=y\left(\ln\left(x\right)+1\right)$
13

Dividir ambos lados de la ecuación por $\frac{1}{y}$

$y^{\prime}=y\left(\ln\left(x\right)+1\right)$
14

Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $x^x$

$y^{\prime}=x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$
15

La derivada de la función es entonces

$x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$

Respuesta Final

$x^x\left(\ln\left(x\right)+1\right)$

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