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Calculadora de Integrales Cíclicas

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales Cíclicas paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

1

Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales cíclicas. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\int e^{2x}cosxdx$
2

Podemos resolver la integral $\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función, es decir, si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)\cdot D_x(x)$

$-\sin\left(x\right)$
3

Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\cos\left(x\right)}\\ \displaystyle{du=-\sin\left(x\right)dx}\end{matrix}$
4

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$
5

Calcular la integral para hallar $v$

$v=\int e^{2x}dx$
6

Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=2x$

$du=\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$2\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$2$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$
8

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$du=2dx$
9

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{e^u}{2}du$
10

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int e^udu$
11

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$\frac{1}{2}e^u$

$\frac{1}{2}e^{2x}$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$

Multiplicar $-1$ por $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)-\int-\frac{1}{2}e^{2x}\sin\left(x\right)dx$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-\frac{1}{2}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin\left(x\right)dx$
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Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin\left(x\right)dx$

Podemos resolver la integral $\int e^{2x}\sin\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sin\left(x\right)}\\ \displaystyle{du=\cos\left(x\right)dx}\end{matrix}$

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$

Calcular la integral para hallar $v$

$v=\int e^{2x}dx$

Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$du=2dx$

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{e^u}{2}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int e^udu$

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$\frac{1}{2}e^u$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx\right)$

Multiplicar el término $\frac{1}{2}$ por cada término del polinomio $\left(\frac{1}{2}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx\right)$

$\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx$
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La integral $\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin\left(x\right)dx$ da como resultado: $\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx$

$\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx$
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Cuando al integrar por partes nos vuelve a aparecer la integral que estamos calculando (se formó un ciclo), ésta se resuelve como una ecuación. Entonces lo que hacemos es pasar la integral repetida al lado izquierdo de la ecuación, con signo contrario

$\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)-\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)$
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Pasar la integral cíclica al lado izquierdo de la ecuación

$\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx+\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)$
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Sumando las integrales

$\frac{5}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)$
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Movemos la parte constante $\frac{5}{4}$ dividiendo al otro miembro de la ecuación

$\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx=\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)\right)$
19

La integral nos da como resultado

$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)\right)$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)\right)$
21

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)\right)+C_0$

Multiplicar el término $\frac{4}{5}$ por cada término del polinomio $\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)\right)$

$\frac{2}{5}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{5}e^{2x}\sin\left(x\right)+C_0$
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Expandir y simplificar

$\frac{2}{5}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{5}e^{2x}\sin\left(x\right)+C_0$

Respuesta final al problema

$\frac{2}{5}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{5}e^{2x}\sin\left(x\right)+C_0$

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