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acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Ejemplo

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Difíciles

1

Ejemplo resuelto de integrales cíclicas

$\int e^x\cdot\cos\left(x\right)dx$
2

Podemos resolver la integral $\int e^x\cos\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función, es decir, si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)\cdot D_x(x)$

$-\sin\left(x\right)$
3

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\cos\left(x\right)}\\ \displaystyle{du=-\sin\left(x\right)dx}\end{matrix}$

4

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^xdx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^xdx}\end{matrix}$
5

Calcular la integral

$v=\int e^xdx$
6

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$e^x$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$e^x\cos\left(x\right)+1\int e^x\sin\left(x\right)dx$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$e^x\cos\left(x\right)+\int e^x\sin\left(x\right)dx$
7

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$e^x\cos\left(x\right)+\int e^x\sin\left(x\right)dx$

Podemos resolver la integral $\int e^x\sin\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sin\left(x\right)}\\ \displaystyle{du=\cos\left(x\right)dx}\end{matrix}$

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^xdx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^xdx}\end{matrix}$

Calcular la integral

$v=\int e^xdx$

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$e^x$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$e^x\sin\left(x\right)-\int e^x\cos\left(x\right)dx$
8

La integral $\int e^x\sin\left(x\right)dx$ da como resultado: $e^x\sin\left(x\right)-\int e^x\cos\left(x\right)dx$

$e^x\sin\left(x\right)-\int e^x\cos\left(x\right)dx$
9

Cuando al integrar por partes nos vuelve a aparecer la integral que estamos calculando (se formó un ciclo), ésta se resuelve como una ecuación. Entonces lo que hacemos es pasar la integral repetida al lado izquierdo de la ecuación, con signo contrario

$\int e^x\cos\left(x\right)dx=e^x\cos\left(x\right)-\int e^x\cos\left(x\right)dx+e^x\sin\left(x\right)$
10

Pasar la integral cíclica al lado izquierdo de la ecuación

$\int e^x\cos\left(x\right)dx+\int e^x\cos\left(x\right)dx=e^x\cos\left(x\right)+e^x\sin\left(x\right)$
11

Sumando las integrales

$2\int e^x\cos\left(x\right)dx=e^x\cos\left(x\right)+e^x\sin\left(x\right)$
12

Movemos la parte constante $2$ dividiendo al otro miembro de la ecuación

$\int e^x\cos\left(x\right)dx=\frac{1}{2}\left(e^x\cos\left(x\right)+e^x\sin\left(x\right)\right)$
13

La integral nos da como resultado

$\frac{1}{2}\left(e^x\cos\left(x\right)+e^x\sin\left(x\right)\right)$
14

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}\left(e^x\cos\left(x\right)+e^x\sin\left(x\right)\right)$
15

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\left(e^x\cos\left(x\right)+e^x\sin\left(x\right)\right)+C_0$

Multiplicar el término $\frac{1}{2}$ por cada término del polinomio $\left(e^x\cos\left(x\right)+e^x\sin\left(x\right)\right)$

$\frac{1}{2}e^x\cos\left(x\right)+\frac{1}{2}e^x\sin\left(x\right)+C_0$
16

Expandir y simplificar

$\frac{1}{2}e^x\cos\left(x\right)+\frac{1}{2}e^x\sin\left(x\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}e^x\cos\left(x\right)+\frac{1}{2}e^x\sin\left(x\right)+C_0$

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