Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales cíclicas. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos resolver la integral $\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función, es decir, si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)\cdot D_x(x)$
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral para hallar $v$
Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=2x$
Encontrar la derivada
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
La integral de una función multiplicada por una constante ($\frac{1}{2}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Podemos resolver la integral $\int e^{2x}\sin\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral para hallar $v$
Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Multiplicar el término $\frac{1}{2}$ por cada término del polinomio $\left(\frac{1}{2}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx\right)$
Simplificamos la expresión
La integral $\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin\left(x\right)dx$ da como resultado: $\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx$
Cuando al integrar por partes nos vuelve a aparecer la integral que estamos calculando (se formó un ciclo), ésta se resuelve como una ecuación. Entonces lo que hacemos es pasar la integral repetida al lado izquierdo de la ecuación, con signo contrario
Pasar la integral cíclica al lado izquierdo de la ecuación
Sumando las integrales
Movemos la parte constante $\left(-\frac{1}{4}+1\right)$ dividiendo al otro miembro de la ecuación
La integral nos da como resultado
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Simplificar la suma $-\frac{1}{4}+1$
Multiplicar $1$ por $4$
Restar los valores $4$ y $-1$
Simplificar la suma $-\frac{1}{4}+1$
Multiplicar la fracción por el término
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Multiplicar la fracción por el término
Dividir las fracciones $\frac{\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)}{\frac{3}{4}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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