Ejemplo resuelto de integrales cíclicas
Podemos resolver la integral $\int e^x\cos\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función, es decir, si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)\cdot D_x(x)$
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$
La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Podemos resolver la integral $\int e^x\sin\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
La integral $\int e^x\sin\left(x\right)dx$ da como resultado: $e^x\sin\left(x\right)-\int e^x\cos\left(x\right)dx$
Cuando al integrar por partes nos vuelve a aparecer la integral que estamos calculando (se formó un ciclo), ésta se resuelve como una ecuación. Entonces lo que hacemos es pasar la integral repetida al lado izquierdo de la ecuación, con signo contrario
Pasar la integral cíclica al lado izquierdo de la ecuación
Sumando las integrales
Movemos la parte constante $2$ dividiendo al otro miembro de la ecuación
La integral nos da como resultado
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Multiplicar el término $\frac{1}{2}$ por cada término del polinomio $\left(e^x\cos\left(x\right)+e^x\sin\left(x\right)\right)$
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