Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales cíclicas. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos resolver la integral $\int e^x\sin\left(3x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral para hallar $v$
La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$
La integral de una función multiplicada por una constante ($3$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Podemos resolver la integral $\int e^x\cos\left(3x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral para hallar $v$
La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Multiplicar el término $-3$ por cada término del polinomio $\left(e^x\cos\left(3x\right)+3\int e^x\sin\left(3x\right)dx\right)$
La integral $-3\int e^x\cos\left(3x\right)dx$ da como resultado: $-3e^x\cos\left(3x\right)-9\int e^x\sin\left(3x\right)dx$
Cuando al integrar por partes nos vuelve a aparecer la integral que estamos calculando (se formó un ciclo), ésta se resuelve como una ecuación. Entonces lo que hacemos es pasar la integral repetida al lado izquierdo de la ecuación, con signo contrario
Pasar la integral cíclica al lado izquierdo de la ecuación
Sumando las integrales
Movemos la parte constante $10$ dividiendo al otro miembro de la ecuación
La integral nos da como resultado
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Multiplicar el término $\frac{1}{10}$ por cada término del polinomio $\left(e^x\sin\left(3x\right)-3e^x\cos\left(3x\right)\right)$
Simplificando
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