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Calculadora de Eliminación Gaussiana

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Eliminación Gaussiana paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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asinh
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atanh
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asech
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Ejemplo resuelto de eliminación gaussiana

$\int\frac{1}{4x^2-25}dx$

Aplicando la regla de potencia de un producto

$\frac{1}{\left(2x+5\right)\left(\sqrt{4x^2}-5\right)}$

Aplicando la regla de potencia de un producto

$\frac{1}{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}$
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Reescribir la expresión $\frac{1}{4x^2-25}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

$\int\frac{1}{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}dx$
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Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{1}{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}=\frac{A}{2x+5}+\frac{B}{2x-5}$

4

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)$

$1=\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)\left(\frac{A}{2x+5}+\frac{B}{2x-5}\right)$
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Multiplicando polinomios

$1=\frac{A\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}{2x+5}+\frac{B\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}{2x-5}$
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Simplificando

$1=A\left(2x-5\right)+B\left(2x+5\right)$
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Expandir el polinomio

$1=2Ax-5A+2Bx+5B$
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Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=-15A-5B&\:\:\:\:\:\:\:(x=-5) \\ 1=5A+15B&\:\:\:\:\:\:\:(x=5)\end{matrix}$
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Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix} -15A & - & 5B & =1 \\ 5A & + & 15B & =1\end{matrix}$
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Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-15 & -5 & 1 \\ 5 & 15 & 1\end{matrix}\right)$
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Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & -\frac{1}{10} \\ 0 & 1 & \frac{1}{10}\end{matrix}\right)$
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La integral de $\frac{1}{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{-1}{10\left(2x+5\right)}+\frac{1}{10\left(2x-5\right)}\right)dx$
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Expandir la integral $\int\left(\frac{-1}{10\left(2x+5\right)}+\frac{1}{10\left(2x-5\right)}\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\int\frac{-1}{10\left(2x+5\right)}dx+\int\frac{1}{10\left(2x-5\right)}dx$

Sacar el término constante $\frac{1}{10}$ de la integral

$\frac{1}{10}\int\frac{-1}{2x+5}dx$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{ax+b}dx$$=\frac{n}{a}\ln\left(ax+b\right)+C$, donde $a=2$, $b=5$ y $n=-1$

$-\frac{1}{20}\ln\left(2x+5\right)$
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La integral $\int\frac{-1}{10\left(2x+5\right)}dx$ da como resultado: $-\frac{1}{20}\ln\left(2x+5\right)$

$-\frac{1}{20}\ln\left(2x+5\right)$

Sacar el término constante $\frac{1}{10}$ de la integral

$\frac{1}{10}\int\frac{1}{2x-5}dx$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{ax+b}dx$$=\frac{n}{a}\ln\left(ax+b\right)+C$, donde $a=2$, $b=-5$ y $n=1$

$\frac{1}{20}\ln\left(2x-5\right)$
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La integral $\int\frac{1}{10\left(2x-5\right)}dx$ da como resultado: $\frac{1}{20}\ln\left(2x-5\right)$

$\frac{1}{20}\ln\left(2x-5\right)$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$-\frac{1}{20}\ln\left(2x+5\right)+\frac{1}{20}\ln\left(2x-5\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-\frac{1}{20}\ln\left(2x+5\right)+\frac{1}{20}\ln\left(2x-5\right)+C_0$

Respuesta Final

$-\frac{1}{20}\ln\left(2x+5\right)+\frac{1}{20}\ln\left(2x-5\right)+C_0$

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