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Calculadora de Eliminación Gaussiana

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Eliminación Gaussiana paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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log
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Dx
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csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de eliminación gaussiana. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2x^2\left(x-1\right)}\right)dx$
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Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}dx$

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}$ en $3$ fracciones más simples

$\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x}$

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $x^2\left(x-1\right)$

$1=x^2\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x}\right)$

Multiplicando polinomios

$1=\frac{x^2\left(x-1\right)A}{x^2}+\frac{x^2\left(x-1\right)B}{x-1}+\frac{x^2\left(x-1\right)C}{x}$

Simplificando

$1=\left(x-1\right)A+x^2B+x\left(x-1\right)C$

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=-A&\:\:\:\:\:\:\:(x=0) \\ 1=B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1) \\ 1=-2A+B+2C&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1)\end{matrix}$

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix} -1A & + & 0B & + & 0C & =1 \\ 0A & + & 1B & + & 0C & =1 \\ -2A & + & 1B & + & 2C & =1\end{matrix}$

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 2 & 1\end{matrix}\right)$

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{matrix}\right)$

La integral de $\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\frac{-1}{x^2}+\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x}$
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Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}$ en $3$ fracciones más simples

$\frac{-1}{x^2}+\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x}$
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Expandir la integral $\int\left(\frac{-1}{x^2}+\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x}\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x^2}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x}dx$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{x-1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x-1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=x-1$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=x-1$

$du=\frac{d}{dx}\left(x-1\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(x-1\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$1$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=dx$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x^2}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du+\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x}dx$

Reescribimos el exponente usando la regla de la potenciación $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, donde en este caso $m=0$

$\frac{1}{2}\int-x^{-2}dx$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\left(\frac{1}{2}\right)\int x^{-2}dx$

Multiplicar la fracción y el término en $-\left(\frac{1}{2}\right)\int x^{-2}dx$

$-\frac{1}{2}\int x^{-2}dx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $-2$

$-\frac{1}{2}\frac{x^{-1}}{-1}$

Simplificamos la expresión

$\frac{1}{2x}$
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La integral $\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x^2}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2x}$

$\frac{1}{2x}$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\frac{1}{2}\ln\left|u\right|$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x-1$

$\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$
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La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$

$\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left|x\right|$

Multiplicar la fracción y el término en $-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left|x\right|$

$-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|$
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La integral $\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x}dx$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|$

$-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|$
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Colocamos los límites iniciales de integración

$\left[\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(x\right)\right)\right]_{- \infty }^{\infty }$
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Reemplazamos el límite de la integral por un valor finito

$\lim_{c\to{- \infty }}\left(\left[\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|\right)\right]_{c}^{\infty }\right)$
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Evaluando la integral definida

$\lim_{c\to{- \infty }}\left(\frac{1}{2\cdot \infty }+\frac{1}{2}\ln\left|\infty -1\right|-\frac{1}{2}\ln\left|\infty \right|-\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2}\ln\left|c-1\right|-\frac{1}{2}\ln\left|c\right|\right)\right)$

El logaritmo natural de infinito es igual a infinito, $\lim_{x\to\infty}\ln(x)=\infty$

$\lim_{c\to{- \infty }}\left(\frac{1}{2\cdot \infty }+\frac{1}{2}\ln\left(\infty -1\right)-\frac{1}{2}\cdot \infty -\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2}\ln\left(c-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(c\right)\right)\right)$

Cualquier expresión multiplicada por infinito da igual a infinito, en otras palabras: $\infty\cdot(\pm n)=\pm\infty$, sólo si $n\neq0$

$\lim_{c\to{- \infty }}\left(\frac{1}{\infty }+\frac{1}{2}\ln\left(\infty -1\right)-\frac{1}{2}\cdot \infty -\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2}\ln\left(c-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(c\right)\right)\right)$

Cualquier expresión multiplicada por infinito da igual a infinito, en otras palabras: $\infty\cdot(\pm n)=\pm\infty$, sólo si $n\neq0$

$\lim_{c\to{- \infty }}\left(\frac{1}{\infty }+\frac{1}{2}\ln\left(\infty -1\right)- \infty -\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2}\ln\left(c-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(c\right)\right)\right)$

Infinito más cualquier otra expresión algebraica es igual a infinito

$\lim_{c\to{- \infty }}\left(\frac{1}{\infty }+\frac{1}{2}\ln\left(\infty \right)- \infty -\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2}\ln\left(c-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(c\right)\right)\right)$

El logaritmo natural de infinito es igual a infinito, $\lim_{x\to\infty}\ln(x)=\infty$

$\lim_{c\to{- \infty }}\left(\frac{1}{\infty }+\frac{1}{2}\cdot \infty - \infty -\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2}\ln\left(c-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(c\right)\right)\right)$

Cualquier expresión multiplicada por infinito da igual a infinito, en otras palabras: $\infty\cdot(\pm n)=\pm\infty$, sólo si $n\neq0$

$\lim_{c\to{- \infty }}\left(\frac{1}{\infty }+\infty - \infty -\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2}\ln\left(c-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(c\right)\right)\right)$

Cualquier expresión dividida por infinito es igual a cero

$\lim_{c\to{- \infty }}\left(\infty - \infty -\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2}\ln\left(c-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(c\right)\right)\right)$

Infinito menos infinito nos da indeterminado

indeterminado
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Evaluar los límites resultantes de la integral

indeterminate
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Cuando los límites de la integral no existen, se dice que la integral es divergente

La integral diverge.

Respuesta final al problema

La integral diverge.

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