Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de eliminación gaussiana. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}$ en $3$ fracciones más simples
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $x^2\left(x-1\right)$
Multiplicando polinomios
Simplificando
Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales
Reescribimos los coeficientes en forma de matriz
Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan
La integral de $\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}$ en $3$ fracciones más simples
Expandir la integral $\int\left(\frac{-1}{x^2}+\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x}\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{x-1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x-1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=x-1$
Encontrar la derivada
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Reescribimos el exponente usando la regla de la potenciación $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, donde en este caso $m=0$
La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Multiplicar la fracción y el término en $-\left(\frac{1}{2}\right)\int x^{-2}dx$
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $-2$
Simplificamos la expresión
La integral $\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x^2}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2x}$
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x-1$
La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Multiplicar la fracción y el término en $-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left|x\right|$
La integral $\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x}dx$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Colocamos los límites iniciales de integración
Reemplazamos el límite de la integral por un valor finito
Evaluando la integral definida
El logaritmo natural de infinito es igual a infinito, $\lim_{x\to\infty}\ln(x)=\infty$
Cualquier expresión multiplicada por infinito da igual a infinito, en otras palabras: $\infty\cdot(\pm n)=\pm\infty$, sólo si $n\neq0$
Cualquier expresión multiplicada por infinito da igual a infinito, en otras palabras: $\infty\cdot(\pm n)=\pm\infty$, sólo si $n\neq0$
Infinito más cualquier otra expresión algebraica es igual a infinito
El logaritmo natural de infinito es igual a infinito, $\lim_{x\to\infty}\ln(x)=\infty$
Cualquier expresión multiplicada por infinito da igual a infinito, en otras palabras: $\infty\cdot(\pm n)=\pm\infty$, sólo si $n\neq0$
Cualquier expresión dividida por infinito es igual a cero
Infinito menos infinito nos da indeterminado
Evaluar los límites resultantes de la integral
Cuando los límites de la integral no existen, se dice que la integral es divergente
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