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Calculadora de Ecuación Diferencial Lineal

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acosh
atanh
acoth
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Ejemplo

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Difíciles

1

Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial lineal. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$x\frac{dy}{dx}-2y=x^3cos\left(x\right)$
2

Dividir todos los términos de la ecuación diferencial por $x$

$\frac{x}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{-2y}{x}=\frac{x^3\cos\left(x\right)}{x}$

Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$

$1\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{-2y}{x}=\frac{x^3\cos\left(x\right)}{x}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{dy}{dx}+\frac{-2y}{x}=\frac{x^3\cos\left(x\right)}{x}$

Simplificar la fracción $\frac{x^3\cos\left(x\right)}{x}$ por $x$

$\frac{dy}{dx}+\frac{-2y}{x}=x^{2}\cos\left(x\right)$
3

Simplificando

$\frac{dy}{dx}+\frac{-2y}{x}=x^{2}\cos\left(x\right)$
4

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{-2}{x}$ y $Q(x)=x^{2}\cos\left(x\right)$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcular la integral

$\int\frac{-2}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-2\ln\left|x\right|$
5

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-2}{x}dx=-2\ln\left(x\right)$

Simplificar $e^{-2\ln\left|x\right|}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos

$x^{-2}$
6

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^{-2}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes

$\frac{dy}{dx}x^{-2}+\frac{-2y}{x}x^{-2}=x^{2-2}\cos\left(x\right)$

Sumar los valores $2$ y $-2$

$\frac{dy}{dx}x^{-2}+\frac{-2y}{x}x^{-2}=x^{0}\cos\left(x\right)$

Cualquier expresión matemática elevada a la potencia $0$ es igual a $1$

$\frac{dy}{dx}x^{-2}+\frac{-2y}{x}x^{-2}=\cos\left(x\right)$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{dy}{dx}x^{-2}+\frac{-2yx^{-2}}{x}=\cos\left(x\right)$

Simplificar la fracción $\frac{-2yx^{-2}}{x}$ por $x$

$\frac{dy}{dx}x^{-2}-2yx^{-3}=\cos\left(x\right)$
7

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}x^{-2}-2yx^{-3}=\cos\left(x\right)$
8

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-2}y\right)=\cos\left(x\right)$
9

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}y\right)dx=\int\cos\left(x\right)dx$
10

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^{-2}y=\int\cos\left(x\right)dx$

La integral del coseno de una función es igual al seno de la misma función, en otras palabras: $\int\cos(x)dx=\sin(x)$

$\sin\left(x\right)$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\sin\left(x\right)+C_0$
11

Resolver la integral $\int\cos\left(x\right)dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^{-2}y=\sin\left(x\right)+C_0$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{x^{\left|-2\right|}}y$

Multiplicando la fracción por el término $y$

$\frac{y}{x^{\left|-2\right|}}$
12

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{x^{2}}y=\sin\left(x\right)+C_0$

Multiplicar la fracción por el término $y$

$\frac{1y}{x^{2}}=\sin\left(x\right)+C_0$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{y}{x^{2}}=\sin\left(x\right)+C_0$
13

Multiplicar la fracción por el término $y$

$\frac{y}{x^{2}}=\sin\left(x\right)+C_0$

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $x^{2}$

$y=x^{2}\left(\sin\left(x\right)+C_0\right)$
14

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=x^{2}\left(\sin\left(x\right)+C_0\right)$

Respuesta final al problema

$y=x^{2}\left(\sin\left(x\right)+C_0\right)$

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Ejercicios Populares Resueltos

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