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acosh
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Ejemplo

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Difíciles

1

Ejemplo resuelto de ecuación diferencial lineal

$x\frac{dy}{dx}-4y=x^6e^x$
2

Dividir todos los términos de la ecuación diferencial por $x$

$\frac{x}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{-4y}{x}=\frac{x^6e^x}{x}$

Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$

$1\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{dy}{dx}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{dy}{dx}+\frac{-4y}{x}=\frac{x^6e^x}{x}$

Simplificar la fracción $\frac{x^6e^x}{x}$ por $x$

$\frac{dy}{dx}+\frac{-4y}{x}=x^{5}e^x$
3

Simplificando

$\frac{dy}{dx}+\frac{-4y}{x}=x^{5}e^x$

4

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{-4}{x}$ y $Q(x)=x^{5}e^x$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcular la integral

$\int\frac{-4}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-4\ln\left(x\right)$
5

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-4}{x}dx=-4\ln\left(x\right)$

Simplificar $e^{-4\ln\left(x\right)}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos

$x^{-4}$
6

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^{-4}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes

$\frac{dy}{dx}x^{-4}+\frac{-4y}{x}x^{-4}=xe^x$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-4}$

$\frac{dy}{dx}x^{-4}+\frac{-4yx^{-4}}{x}=xe^x$

Simplificar la fracción $\frac{-4yx^{-4}}{x}$ por $x$

$\frac{dy}{dx}x^{-4}-4yx^{-5}=xe^x$
7

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}x^{-4}-4yx^{-5}=xe^x$
8

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-4}y\right)=xe^x$
9

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-4}y\right)dx=\int xe^xdx$
10

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^{-4}y=\int xe^xdx$

Podemos resolver la integral $\int xe^xdx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^xdx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^xdx}\end{matrix}$

Calcular la integral

$v=\int e^xdx$

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$e^x$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$e^x\cdot x-\int e^xdx$

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$e^x\cdot x-e^x$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$e^x\cdot x-e^x+C_0$
11

Resolver la integral $\int xe^xdx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^{-4}y=e^x\cdot x-e^x+C_0$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{x^{\left|-4\right|}}y$

Multiplicando la fracción por el término $y$

$\frac{y}{x^{\left|-4\right|}}$
12

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{x^{4}}y=e^x\cdot x-e^x+C_0$
13

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y}{x^{4}}=e^x\cdot x-e^x+C_0$

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $x^{4}$

$y=\left(e^x\cdot x-e^x+C_0\right)x^{4}$
14

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\left(e^x\cdot x-e^x+C_0\right)x^{4}$

Respuesta Final

$y=\left(e^x\cdot x-e^x+C_0\right)x^{4}$

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