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Calculadora de Ecuación Diferencial Lineal

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Ecuación Diferencial Lineal paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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Ejemplo

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Difíciles

1

Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial lineal. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\frac{dy}{dx}+2y=x$
2

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=2$ y $Q(x)=x$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcular la integral

$\int2dx$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$2x$
3

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int2dx=2x$
4

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=e^{2x}$
5

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}e^{2x}+2ye^{2x}=xe^{2x}$
6

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)=xe^{2x}$
7

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)dx=\int xe^{2x}dx$
8

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$e^{2x}y=\int xe^{2x}dx$

Podemos resolver la integral $\int xe^{2x}dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$

Calcular la integral para hallar $v$

$v=\int e^{2x}dx$

Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$dx=\frac{du}{2}$

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{e^u}{2}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int e^udu$

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$\frac{1}{2}e^u$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx$

Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$dx=\frac{du}{2}$

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int e^udu$

Multiplicando fracciones $-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}\int e^udu$

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^u$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$
9

Resolver la integral $\int xe^{2x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$e^{2x}y=\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Multiplicando la fracción por el término $e^{2x}x$

$e^{2x}y=\frac{1e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Multiplicando la fracción por el término $e^{2x}$

$e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$

Multiplicando la fracción por el término $e^{2x}x$

$e^{2x}y=\frac{1e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Multiplicar la ecuación por el recíproco de $e^{2x}$

$y=e^{-2x}\left(\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0\right)$
10

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=e^{-2x}\left(\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0\right)$

Respuesta final al problema

$y=e^{-2x}\left(\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0\right)$

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Ejercicios Populares Resueltos

Problemas más populares resueltos con ésta calculadora:

$\frac{dy}{dx}+2y=x$ 104 vistas
$\frac{dy}{dx}-y=5$ 99 vistas
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$\frac{dy}{dx}-y=e^{3x}$ 72 vistas
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