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Calculadora de Ecuación Diferencial Homogénea

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Ecuación Diferencial Homogénea paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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asin
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acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial homogénea. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

dydx=4x+3y2x+y\frac{dy}{dx}=-\frac{4x+3y}{2x+y}
2

Podemos identificar que la ecuación diferencial dydx=(4x+3y)2x+y\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(4x+3y\right)}{2x+y} es homogénea, ya que está escrita en su forma estándar dydx=M(x,y)N(x,y)\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}, donde M(x,y)M(x,y) y N(x,y)N(x,y) constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables f(x,y)f(x,y) y ambas son funciones homogéneas del mismo grado

dydx=(4x+3y)2x+y\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(4x+3y\right)}{2x+y}
3

Hacemos la sustitución: y=uxy=ux

udx+xdudx=(4x+3ux)2x+ux\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}=\frac{-\left(4x+3ux\right)}{2x+ux}

Factoizar el polinomio 2x+ux2x+ux por su máximo común divisor (MCD): xx

udx+xdudx=(4x+3ux)x(2+u)\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}=\frac{-\left(4x+3ux\right)}{x\left(2+u\right)}

Expandir la fracción udx+xdudx\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx} en 22 fracciones más simples con dxdx como denominador en común

udxdx+xdudx=(4x+3ux)x(2+u)\frac{u\cdot dx}{dx}+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-\left(4x+3ux\right)}{x\left(2+u\right)}

Simplificar las fracciones resultantes

u+xdudx=(4x+3ux)x(2+u)u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-\left(4x+3ux\right)}{x\left(2+u\right)}

Multiplicar el término 1-1 por cada término del polinomio (4x+3ux)\left(4x+3ux\right)

u+xdudx=4x3uxx(2+u)u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4x-3ux}{x\left(2+u\right)}

Factoizar el polinomio 4x3ux-4x-3ux por su máximo común divisor (MCD): x-x

u+xdudx=x(4+3u)x(2+u)u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-x\left(4+3u\right)}{x\left(2+u\right)}

Simplificar la fracción x(4+3u)x(2+u)\frac{-x\left(4+3u\right)}{x\left(2+u\right)} por xx

u+xdudx=(4+3u)2+uu+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-\left(4+3u\right)}{2+u}

Multiplicar el término 1-1 por cada término del polinomio (4+3u)\left(4+3u\right)

u+xdudx=43u2+uu+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u}{2+u}

Necesitamos aislar la variable dependiente uu, podemos hacerlo restando uu simultáneamente a ambos miembros de la ecuación

xdudx=43u2+uu\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u}{2+u}-u

Combinar todos los términos en una única fracción con 2+u2+u como común denominador

xdudx=43u2uu22+u\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u-2u-u^2}{2+u}

Reduciendo términos semejantes 3u-3u y 2u-2u

xdudx=45uu22+u\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-5u-u^2}{2+u}

Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable uu al lado izquierdo, y los términos de la variable xx al lado derecho de la igualdad

2+u45uu2du=1xdx\frac{2+u}{-4-5u-u^2}du=\frac{1}{x}dx

Simplificar la expresión 2+u45uu2du\frac{2+u}{-4-5u-u^2}du

2+u(u+1)(u+4)du=1xdx\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\frac{1}{x}dx
4

Expandir y simplificar

2+u(u+1)(u+4)du=1xdx\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\frac{1}{x}dx
5

Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a uu, y el lado derecho con respecto a xx

2+u(u+1)(u+4)du=1xdx\int\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\int\frac{1}{x}dx

Sacar el término constante 11\frac{1}{-1} de la integral

2+u(u+1)(u+4)du-\int\frac{2+u}{\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción 2+u(u+1)(u+4)\frac{2+u}{\left(u+1\right)\left(u+4\right)} en 22 fracciones más simples

13(u+1)+23(u+4)\frac{1}{3\left(u+1\right)}+\frac{2}{3\left(u+4\right)}

Expandir la integral (13(u+1)+23(u+4))du\int\left(\frac{1}{3\left(u+1\right)}+\frac{2}{3\left(u+4\right)}\right)du en 22 integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

13(u+1)du23(u+4)du-\int\frac{1}{3\left(u+1\right)}du-\int\frac{2}{3\left(u+4\right)}du

Sacar el término constante 13\frac{1}{3} de la integral

(13)1u+1du23(u+4)du- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{u+1}du-\int\frac{2}{3\left(u+4\right)}du

Multiplicar la fracción y el término en (13)1u+1du- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{u+1}du

131u+1du23(u+4)du-\frac{1}{3}\int\frac{1}{u+1}du-\int\frac{2}{3\left(u+4\right)}du

Sacar el término constante 13\frac{1}{3} de la integral

131u+1du(13)2u+4du-\frac{1}{3}\int\frac{1}{u+1}du- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{2}{u+4}du

Multiplicar la fracción y el término en (13)2u+4du- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{2}{u+4}du

131u+1du132u+4du-\frac{1}{3}\int\frac{1}{u+1}du-\frac{1}{3}\int\frac{2}{u+4}du

La integral de una función por una constante (22) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

131u+1du+2(13)14+udu-\frac{1}{3}\int\frac{1}{u+1}du+2\left(-\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{4+u}du

Multiplicar la fracción y el término en 2(13)14+udu2\left(-\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{4+u}du

131u+1du2314+udu-\frac{1}{3}\int\frac{1}{u+1}du-\frac{2}{3}\int\frac{1}{4+u}du

Podemos resolver la integral 1u+1du\int\frac{1}{u+1}du aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla vv), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que u+1u+1 es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable vv y asignémosle el candidato

v=u+1v=u+1

Ahora, para poder reescribir dudu en términos de dvdv, necesitamos encontrar la derivada de vv. Por lo tanto, necesitamos calcular dvdv, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

dv=dudv=du

Sustituimos vv y dudu en la integral y luego simplificamos

131vdv2314+udu-\frac{1}{3}\int\frac{1}{v}dv-\frac{2}{3}\int\frac{1}{4+u}du

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, 1xdx=ln(x)\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)

13lnv2314+udu-\frac{1}{3}\ln\left|v\right|-\frac{2}{3}\int\frac{1}{4+u}du

Reemplazar vv por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: u+1u+1

13lnu+12314+udu-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\int\frac{1}{4+u}du

Podemos resolver la integral 14+udu\int\frac{1}{4+u}du aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla vv), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que 4+u4+u es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable vv y asignémosle el candidato

v=4+uv=4+u

Ahora, para poder reescribir dudu en términos de dvdv, necesitamos encontrar la derivada de vv. Por lo tanto, necesitamos calcular dvdv, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

dv=dudv=du

Sustituimos vv y dudu en la integral y luego simplificamos

13lnu+1231vdv-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\int\frac{1}{v}dv

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, 1xdx=ln(x)\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)

13lnu+123lnv-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\ln\left|v\right|

Reemplazar vv por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: 4+u4+u

13lnu+123ln4+u-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\ln\left|4+u\right|
6

Resolver la integral 2+u(u+1)(u+4)du\int\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

13lnu+123ln4+u=1xdx-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\ln\left|4+u\right|=\int\frac{1}{x}dx

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, 1xdx=ln(x)\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)

lnx\ln\left|x\right|

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración CC

lnx+C0\ln\left|x\right|+C_0
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Resolver la integral 1xdx\int\frac{1}{x}dx y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

13lnu+123ln4+u=lnx+C0-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\ln\left|4+u\right|=\ln\left|x\right|+C_0
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Reemplazar uu con el valor yx\frac{y}{x}

13ln(yx+1)23ln(4+yx)=ln(x)+C0-\frac{1}{3}\ln\left(\frac{y}{x}+1\right)-\frac{2}{3}\ln\left(4+\frac{y}{x}\right)=\ln\left(x\right)+C_0

Respuesta final al problema

13ln(yx+1)23ln(4+yx)=ln(x)+C0-\frac{1}{3}\ln\left(\frac{y}{x}+1\right)-\frac{2}{3}\ln\left(4+\frac{y}{x}\right)=\ln\left(x\right)+C_0

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