Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial homogénea. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos identificar que la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(4x+3y\right)}{2x+y}$ es homogénea, ya que está escrita en su forma estándar $\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas son funciones homogéneas del mismo grado
Hacemos la sustitución: $y=ux$
Factoizar el polinomio $2x+ux$ por su máximo común divisor (MCD): $x$
Expandir la fracción $\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}$ en $2$ fracciones más simples con $dx$ como denominador en común
Simplificar las fracciones resultantes
Multiplicar el término $-1$ por cada término del polinomio $\left(4x+3ux\right)$
Factoizar el polinomio $-4x-3ux$ por su máximo común divisor (MCD): $-x$
Simplificar la fracción $\frac{-x\left(4+3u\right)}{x\left(2+u\right)}$ por $x$
Multiplicar el término $-1$ por cada término del polinomio $\left(4+3u\right)$
Necesitamos aislar la variable dependiente $u$, podemos hacerlo restando $u$ simultáneamente a ambos miembros de la ecuación
Combinar todos los términos en una única fracción con $2+u$ como común denominador
Reduciendo términos semejantes $-3u$ y $-2u$
Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $u$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ al lado derecho de la igualdad
Simplificar la expresión $\frac{2+u}{-4-5u-u^2}du$
Expandir y simplificar
Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $u$, y el lado derecho con respecto a $x$
Sacar el término constante $\frac{1}{-1}$ de la integral
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{2+u}{\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{3\left(u+1\right)}+\frac{2}{3\left(u+4\right)}\right)du$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral
Multiplicar la fracción y el término en $- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{u+1}du$
Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral
Multiplicar la fracción y el término en $- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{2}{u+4}du$
La integral de una función por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Multiplicar la fracción y el término en $2\left(-\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{4+u}du$
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{u+1}du$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $v$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $u+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $v$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $du$ en términos de $dv$, necesitamos encontrar la derivada de $v$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dv$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $v$ y $du$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $v$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $u+1$
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{4+u}du$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $v$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $4+u$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $v$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $du$ en términos de $dv$, necesitamos encontrar la derivada de $v$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dv$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $v$ y $du$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $v$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $4+u$
Resolver la integral $\int\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Resolver la integral $\int\frac{1}{x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Reemplazar $u$ con el valor $\frac{y}{x}$
Obtén acceso a miles de soluciones a ejercicios paso a paso, ¡y va en aumento cada día!
Problemas más populares resueltos con ésta calculadora: