Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial homogénea. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos identificar que la ecuación diferencial $\left(y^2+2xy\right)dx-x^2dy=0$ es homogénea, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas son funciones homogéneas del mismo grado
Hacemos la sustitución: $y=ux$
Multiplicar el término $-x^2$ por cada término del polinomio $\left(u\cdot dx+x\cdot du\right)$
Aplicando la regla de potencia de un producto
Multiplicar el término $dx$ por cada término del polinomio $\left(u^2x^2+2x^2u\right)$
Reduciendo términos semejantes $2x^2u\cdot dx$ y $-ux^2\cdot dx$
Agrupar los términos de la ecuación
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $-1$
Factoizar el polinomio $u^2x^2dx+u\cdot x^2\cdot dx$ por su máximo común divisor (MCD): $u\cdot x^2\cdot dx$
Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $u$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ al lado derecho de la igualdad
Simplificar la expresión $\frac{1}{u}\frac{1}{u+1}du$
Simplificar la expresión $\frac{x^2}{x^{3}}dx$
Expandir y simplificar
Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $u$, y el lado derecho con respecto a $x$
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{u\left(u+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{u}+\frac{-1}{u+1}\right)du$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=1$, $x=u$ y $n=-1$
Resolver la integral $\int\frac{1}{u\left(u+1\right)}du$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Resolver la integral $\int\frac{1}{x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Reemplazar $u$ con el valor $\frac{y}{x}$
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