Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial homogénea. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos identificar que la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(4x+3y\right)}{2x+y}$ es homogénea, ya que está escrita en su forma estándar $\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas son funciones homogéneas del mismo grado
Hacemos la sustitución: $y=ux$
Factoizar el polinomio $2x+ux$ por su máximo común divisor (MCD): $x$
Expandir la fracción $\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}$ en $2$ fracciones más simples con $dx$ como denominador en común
Simplificar las fracciones resultantes
Multiplicar el término $-1$ por cada término del polinomio $\left(4x+3ux\right)$
Factoizar el polinomio $-4x-3ux$ por su máximo común divisor (MCD): $-x$
Simplificar la fracción $\frac{-x\left(4+3u\right)}{x\left(2+u\right)}$ por $x$
Multiplicar el término $-1$ por cada término del polinomio $\left(4+3u\right)$
Necesitamos aislar la variable dependiente $u$, podemos hacerlo restando $u$ simultáneamente a ambos miembros de la ecuación
Combinar todos los términos en una única fracción con $2+u$ como común denominador
Reduciendo términos semejantes $-3u$ y $-2u$
Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $u$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ al lado derecho de la igualdad
Simplificar la expresión $\frac{2+u}{-4-5u-u^2}du$
Expandir y simplificar
Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $u$, y el lado derecho con respecto a $x$
Sacar el término constante $\frac{1}{-1}$ de la integral
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{2+u}{\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{3\left(u+1\right)}+\frac{2}{3\left(u+4\right)}\right)du$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral
Multiplicar la fracción y el término en $- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{u+1}du$
Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral
Multiplicar la fracción y el término en $- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{2}{u+4}du$
Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=1$, $x=u$ y $n=1$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=4$, $x=u$ y $n=2$
Multiplicar la fracción y el término en $2\left(-\frac{1}{3}\right)\ln\left|u+4\right|$
Resolver la integral $\int\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Resolver la integral $\int\frac{1}{x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Reemplazar $u$ con el valor $\frac{y}{x}$
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