Ejemplo resuelto de ecuación diferencial homogénea
Podemos identificar que la ecuación diferencial $\left(x-y\right)dx+x\cdot dy=0$ es homogénea, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas son funciones homogéneas del mismo grado
Hacemos la sustitución: $y=ux$
Multiplicar el término $x$ por cada término del polinomio $\left(u\cdot dx+x\cdot du\right)$
Factoizar el polinomio $\left(x-ux\right)$ por su máximo común divisor (MCD): $x$
Factorizar por $dx$
Necesitamos aislar la variable dependiente $u$, podemos hacerlo restando $x^2du$ simultáneamente a ambos miembros de la ecuación
Resolver el producto $x\left(1-u\right)$
Reduciendo términos semejantes $-xu$ y $ux$
Expandir y simplificar
Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $u$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ al lado derecho de la igualdad
Simplificar la fracción por $x$
Simplificar la expresión $\frac{x}{-x^2}dx$
Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
Resolver la integral $\int1du$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Sacar el término constante $\frac{1}{-1}$ de la integral
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Resolver la integral $\int\frac{1}{-x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Reemplazar $u$ con el valor $\frac{y}{x}$
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $x$
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$
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