Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Ecuación Diferencial Homogénea paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.
Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial homogénea. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
dxdy=−2x+y4x+3y
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Podemos identificar que la ecuación diferencial dxdy=2x+y−(4x+3y) es homogénea, ya que está escrita en su forma estándar dxdy=N(x,y)M(x,y), donde M(x,y) y N(x,y) constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables f(x,y) y ambas son funciones homogéneas del mismo grado
dxdy=2x+y−(4x+3y)
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Hacemos la sustitución: y=ux
dxu⋅dx+x⋅du=2x+ux−(4x+3ux)
Pasos intermedios
Factoizar el polinomio 2x+ux por su máximo común divisor (MCD): x
dxu⋅dx+x⋅du=x(2+u)−(4x+3ux)
Expandir la fracción dxu⋅dx+x⋅du en 2 fracciones más simples con dx como denominador en común
dxu⋅dx+dxx⋅du=x(2+u)−(4x+3ux)
Simplificar las fracciones resultantes
u+dxx⋅du=x(2+u)−(4x+3ux)
Multiplicar el término −1 por cada término del polinomio (4x+3ux)
u+dxx⋅du=x(2+u)−4x−3ux
Factoizar el polinomio −4x−3ux por su máximo común divisor (MCD): −x
u+dxx⋅du=x(2+u)−x(4+3u)
Simplificar la fracción x(2+u)−x(4+3u) por x
u+dxx⋅du=2+u−(4+3u)
Multiplicar el término −1 por cada término del polinomio (4+3u)
u+dxx⋅du=2+u−4−3u
Necesitamos aislar la variable dependiente u, podemos hacerlo restando u simultáneamente a ambos miembros de la ecuación
dxx⋅du=2+u−4−3u−u
Combinar todos los términos en una única fracción con 2+u como común denominador
dxx⋅du=2+u−4−3u−2u−u2
Reduciendo términos semejantes −3u y −2u
dxx⋅du=2+u−4−5u−u2
Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable u al lado izquierdo, y los términos de la variable x al lado derecho de la igualdad
−4−5u−u22+udu=x1dx
Simplificar la expresión −4−5u−u22+udu
−(u+1)(u+4)2+udu=x1dx
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Expandir y simplificar
−(u+1)(u+4)2+udu=x1dx
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Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a u, y el lado derecho con respecto a x
∫−(u+1)(u+4)2+udu=∫x1dx
Pasos intermedios
Sacar el término constante −11 de la integral
−∫(u+1)(u+4)2+udu
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción (u+1)(u+4)2+u en 2 fracciones más simples
3(u+1)1+3(u+4)2
Expandir la integral ∫(3(u+1)1+3(u+4)2)du en 2 integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
−∫3(u+1)1du−∫3(u+4)2du
Sacar el término constante 31 de la integral
−(31)∫u+11du−∫3(u+4)2du
Multiplicar la fracción y el término en −(31)∫u+11du
−31∫u+11du−∫3(u+4)2du
Sacar el término constante 31 de la integral
−31∫u+11du−(31)∫u+42du
Multiplicar la fracción y el término en −(31)∫u+42du
−31∫u+11du−31∫u+42du
La integral de una función por una constante (2) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
−31∫u+11du+2(−31)∫4+u1du
Multiplicar la fracción y el término en 2(−31)∫4+u1du
−31∫u+11du−32∫4+u1du
Podemos resolver la integral ∫u+11du aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla v), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que u+1 es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable v y asignémosle el candidato
v=u+1
Ahora, para poder reescribir du en términos de dv, necesitamos encontrar la derivada de v. Por lo tanto, necesitamos calcular dv, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
dv=du
Sustituimos v y du en la integral y luego simplificamos
−31∫v1dv−32∫4+u1du
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, ∫x1dx=ln(x)
−31ln∣v∣−32∫4+u1du
Reemplazar v por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: u+1
−31ln∣u+1∣−32∫4+u1du
Podemos resolver la integral ∫4+u1du aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla v), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que 4+u es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable v y asignémosle el candidato
v=4+u
Ahora, para poder reescribir du en términos de dv, necesitamos encontrar la derivada de v. Por lo tanto, necesitamos calcular dv, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
dv=du
Sustituimos v y du en la integral y luego simplificamos
−31ln∣u+1∣−32∫v1dv
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, ∫x1dx=ln(x)
−31ln∣u+1∣−32ln∣v∣
Reemplazar v por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: 4+u
−31ln∣u+1∣−32ln∣4+u∣
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Resolver la integral ∫−(u+1)(u+4)2+udu y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
−31ln∣u+1∣−32ln∣4+u∣=∫x1dx
Pasos intermedios
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, ∫x1dx=ln(x)
ln∣x∣
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración C
ln∣x∣+C0
7
Resolver la integral ∫x1dx y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
−31ln∣u+1∣−32ln∣4+u∣=ln∣x∣+C0
8
Reemplazar u con el valor xy
−31ln(xy+1)−32ln(4+xy)=ln(x)+C0
Respuesta final al problema
−31ln(xy+1)−32ln(4+xy)=ln(x)+C0
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