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Calculadora de Ecuación Diferencial Homogénea

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Ecuación Diferencial Homogénea paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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atanh
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asech
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Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de ecuación diferencial homogénea. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\left(y^2+2xy\right)dx-x^2dy=0$
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Podemos identificar que la ecuación diferencial $\left(y^2+2xy\right)dx-x^2dy=0$ es homogénea, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas son funciones homogéneas del mismo grado

$\left(y^2+2xy\right)dx-x^2dy=0$
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Hacemos la sustitución: $y=ux$

$\left(\left(ux\right)^2+2xux\right)dx-x^2\left(u\cdot dx+x\cdot du\right)=0$

Multiplicar el término $-x^2$ por cada término del polinomio $\left(u\cdot dx+x\cdot du\right)$

$\left(\left(ux\right)^2+2x^2u\right)dx-ux^2\cdot dx-x^{3}du=0$

Aplicando la regla de potencia de un producto

$\left(u^2x^2+2x^2u\right)dx-ux^2\cdot dx-x^{3}du=0$

Multiplicar el término $dx$ por cada término del polinomio $\left(u^2x^2+2x^2u\right)$

$u^2x^2dx+2x^2u\cdot dx-ux^2\cdot dx-x^{3}du=0$

Reduciendo términos semejantes $2x^2u\cdot dx$ y $-ux^2\cdot dx$

$u^2x^2dx+u\cdot x^2\cdot dx-x^{3}du=0$

Agrupar los términos de la ecuación

$-x^{3}du=-u^2x^2dx-u\cdot x^2\cdot dx$

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $-1$

$x^{3}du=u^2x^2dx+u\cdot x^2\cdot dx$

Factoizar el polinomio $u^2x^2dx+u\cdot x^2\cdot dx$ por su máximo común divisor (MCD): $u\cdot x^2\cdot dx$

$x^{3}du=u\cdot x^2\left(u+1\right)\cdot dx$

Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $u$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ al lado derecho de la igualdad

$\frac{1}{u}\frac{1}{u+1}du=\frac{x^2}{x^{3}}dx$

Simplificar la expresión $\frac{1}{u}\frac{1}{u+1}du$

$\frac{1}{u\left(u+1\right)}du=\frac{x^2}{x^{3}}dx$

Simplificar la expresión $\frac{x^2}{x^{3}}dx$

$\frac{1}{u\left(u+1\right)}du=\frac{1}{x}dx$
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Expandir y simplificar

$\frac{1}{u\left(u+1\right)}du=\frac{1}{x}dx$
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Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $u$, y el lado derecho con respecto a $x$

$\int\frac{1}{u\left(u+1\right)}du=\int\frac{1}{x}dx$

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{u\left(u+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{1}{u}+\frac{-1}{u+1}$

Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{u}+\frac{-1}{u+1}\right)du$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\int\frac{1}{u}du+\int\frac{-1}{u+1}du$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\ln\left|u\right|+\int\frac{-1}{u+1}du$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=1$, $x=u$ y $n=-1$

$\ln\left|u\right|-\ln\left|u+1\right|$
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Resolver la integral $\int\frac{1}{u\left(u+1\right)}du$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\ln\left|u\right|-\ln\left|u+1\right|=\int\frac{1}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\ln\left|x\right|$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\ln\left|x\right|+C_0$
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Resolver la integral $\int\frac{1}{x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\ln\left|u\right|-\ln\left|u+1\right|=\ln\left|x\right|+C_0$
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Reemplazar $u$ con el valor $\frac{y}{x}$

$\ln\left(\frac{y}{x}\right)-\ln\left(\frac{y}{x}+1\right)=\ln\left(x\right)+C_0$

Respuesta final al problema

$\ln\left(\frac{y}{x}\right)-\ln\left(\frac{y}{x}+1\right)=\ln\left(x\right)+C_0$

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