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Ejemplo resuelto de derivada de funciones trigonométricas hiperbólicas
$\frac{d}{dx}\left(csch^2\left(4x^3+1\right)\right)$
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^{\left(2-1\right)}\frac{d}{dx}\left(\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)\right)$
Restar los valores $2$ y $-1$
$2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^{1}\frac{d}{dx}\left(\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)\right)$
Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión
$2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)\right)$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)\right)$
Aplicando la derivada de la cosecante hiperbólica
$2\left(-1\right)\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(4x^3+1\right)$
$-2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(4x^3+1\right)$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)$), se pueden sumar los exponentes
$-2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(4x^3+1\right)$
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Aplicando la derivada de la cosecante hiperbólica
$-2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(4x^3+1\right)$
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La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$-2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(4x^3\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)$
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$-2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\left(\frac{d}{dx}\left(4x^3\right)+0\right)$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$-2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(4x^3\right)$
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La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$-2\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(4x^3\right)$
La derivada de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante por la derivada de la función
$-2\cdot 4\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^3\right)$
$-8\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^3\right)$
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La derivada de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante por la derivada de la función
$-8\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)\frac{d}{dx}\left(x^3\right)$
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$-8\cdot 3x^{\left(3-1\right)}\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)$
Restar los valores $3$ y $-1$
$-8\cdot 3x^{2}\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)$
$-24x^{2}\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$-24x^{2}\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)$
$-24x^{2}\mathrm{csch}\left(4x^3+1\right)^2\mathrm{coth}\left(4x^3+1\right)$