Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales de funciones logarítmicas. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos resolver la integral $\int x\ln\left(4x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Multiplicando la fracción por el término $4$
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral para hallar $v$
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$
Multiplicando fracciones $\frac{1}{x} \times \frac{1}{2}$
Multiplicando la fracción por el término $x^2$
Simplificar la fracción $\frac{x^2}{2x}$ por $x$
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Multiplicar la fracción y el término en $- \left(\frac{1}{2}\right)\int xdx$
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$
Multiplicando fracciones $-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$
La integral $-\int\frac{x}{2}dx$ da como resultado: $-\frac{1}{4}x^2$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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