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Calcular el límite $\lim_{x\to\infty }\left(\left(1+\frac{2}{x}\right)^x\right)$

Solución Paso a paso

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log
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asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$e^{2}$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

1

Reescribimos el límite haciendo uso de la identidad: $a^x=e^{x\ln\left(a\right)}$

$\lim_{x\to\infty }\left(e^{x\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}\right)$
2

Aplicar la regla de potencia de límites: $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = \lim_{x\to a}f(x)^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

${\left(\lim_{x\to\infty }\left(e\right)\right)}^{\lim_{x\to\infty }\left(x\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)}$
3

El límite de una constante es igual a la constante

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(x\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)}$
4

Reescribir el producto dentro del límite como una fracción

$\lim_{x\to \infty }\left(\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\right)$

Insertar el valor $\infty $ en el límite

$\frac{\ln\left(1+\frac{2}{\infty }\right)}{\frac{1}{\infty }}$

Cualquier expresión dividida por infinito es igual a cero

$\frac{\ln\left(1+0\right)}{\frac{1}{\infty }}$

Sumar los valores $1$ y $0$

$\frac{\ln\left(1\right)}{\frac{1}{\infty }}$

Calculando el logaritmo natural de $1$

$\frac{0}{\frac{1}{\infty }}$

Cualquier expresión dividida por infinito es igual a cero

$\frac{0}{0}$
5

Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to \infty }\left(\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\right)$ cuando $x$ tiende a $\infty $, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
6

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to \infty }\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{d}{dx}\left(1+\frac{2}{x}\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\left(\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right)\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right)$

Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{\frac{d}{dx}\left(2\right)x-2\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{0x-2\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

Cualquier expresión multiplicada por $0$ da $0$

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{0-2\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{0-2}{x^2}$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{-2}{x^2}$

Multiplicando fracciones $\frac{1}{1+\frac{2}{x}} \times \frac{-2}{x^2}$

$\frac{-2}{\left(1+\frac{2}{x}\right)x^2}$

Combinar $1+\frac{2}{x}$ en una sola fracción

$\frac{-2}{\frac{2+x}{x}x^2}$

Multiplicando la fracción por el término $x^2$

$\frac{-2}{\frac{\left(2+x\right)x^2}{x}}$

Dividir las fracciones $\frac{-2}{\frac{\left(2+x\right)x^2}{x}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\frac{-2x}{\left(2+x\right)x^2}$

Simplificar la fracción por $x$

$\frac{-2}{\left(2+x\right)x}$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$

Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$

$\frac{\frac{d}{dx}\left(1\right)x-\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{0x-\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

Cualquier expresión multiplicada por $0$ da $0$

$\frac{0-\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{0-1}{x^2}$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$\frac{-1}{x^2}$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{-2}{\left(2+x\right)x}}{\frac{-1}{x^2}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(\frac{-2}{\frac{-\left(2+x\right)x}{x^2}}\right)}$

Simplificar la fracción por $x$

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(\frac{-2}{\frac{-\left(2+x\right)}{x}}\right)}$

Dividir las fracciones $\frac{-2}{\frac{-\left(2+x\right)}{x}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(\frac{-2x}{-\left(2+x\right)}\right)}$
7

Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(\frac{-2x}{-\left(2+x\right)}\right)}$

Insertar el valor $\infty $ en el límite

$\frac{-2\cdot \infty }{- \left(2+\infty \right)}$

Cualquier expresión multiplicada por infinito da igual a infinito, en otras palabras: $\infty\cdot(\pm n)=\pm\infty$, sólo si $n\neq0$

$\frac{- \infty }{- \left(2+\infty \right)}$

Infinito más cualquier otra expresión algebraica es igual a infinito

$\frac{- \infty }{- \infty }$
8

Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to \infty }\left(\frac{-2x}{-\left(2+x\right)}\right)$ cuando $x$ tiende a $\infty $, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{\infty }{\infty }$
9

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to \infty }\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(-2x\right)}{\frac{d}{dx}\left(-\left(2+x\right)\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(-2x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$-2\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$-2$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(-\left(2+x\right)\right)$

Multiplicar el término $-1$ por cada término del polinomio $\left(2+x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(2\cdot -1-x\right)$

Multiplicar $2$ por $-1$

$\frac{d}{dx}\left(-2-x\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(-2\right)+\frac{d}{dx}\left(-x\right)$

La derivada de la función constante ($-2$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(-x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$-\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$-1$

Subir el $-1$ del denominador

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(2\right)}$
10

Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(2\right)}$
11

El límite de una constante es igual a la constante

$e^{2}$
12

Calcular la potencia $e^{2}$

$e^{2}$

Respuesta Final

$e^{2}$

Respuesta numérica exacta

$7.389056$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

Límites por Sustitución DirectaLímites por regla de l'HôpitalLímites por FactorizaciónLímites por Racionalización

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $e^{2}$

SnapXam A2
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◻/◻
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lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Tema Principal: Límites en el Infinito

El límite de una función f(x) cuando x tiende a infinito es el valor que toma la función a medida que el valor de x crece indefinidamente.

Fórmulas Usadas

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