Solución Paso a paso

Calcular el límite $\lim_{x\to\infty }\left(\left(1+\frac{2}{x}\right)^x\right)$

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(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
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e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$e^{2}$$\,\,\left(\approx 7.3890560989306495\right)$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x$

Método de resolución

1

Reescribimos el límite haciendo uso de la identidad: $a^x=e^{x\ln\left(a\right)}$

$\lim_{x\to\infty }\left(e^{x\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}\right)$
2

Aplicar la regla de potencia de límites: $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = \lim_{x\to a}f(x)^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

$\lim_{x\to\infty }\left(e\right)^{\lim_{x\to\infty }\left(x\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)}$
3

Aplicamos la regla: $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, donde $a=e$ y $c=\infty $

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(x\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)}$
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Reescribir el producto dentro del límite como una fracción

$\lim_{x\to \infty }\left(\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\right)$

Insertar el valor $\infty $ en el límite

$\frac{\ln\left(1+\frac{2}{\infty }\right)}{\frac{1}{\infty }}$

Cualquier expresión dividida por infinito es igual a cero

$\frac{\ln\left(1\right)}{\frac{1}{\infty }}$

Calculando el logaritmo natural de $1$

$\frac{0}{\frac{1}{\infty }}$

Cualquier expresión dividida por infinito es igual a cero

$\frac{0}{0}$
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to \infty }\left(\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\right)$ cuando $x$ tiende a $\infty $, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
6

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to \infty }\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{d}{dx}\left(1+\frac{2}{x}\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\left(\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right)\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right)$

Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{x\frac{d}{dx}\left(2\right)-2\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{-2\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\frac{-2}{x^2}$

Combinar $1+\frac{2}{x}$ en una sola fracción

$\frac{x}{2+x}\frac{-2}{x^2}$

Multiplicando fracciones $\frac{x}{2+x} \times \frac{-2}{x^2}$

$\frac{-2x}{x^2\left(2+x\right)}$

Simplificar la fracción por $x$

$\frac{-2}{x\left(2+x\right)}$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$

Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$

$\frac{x\frac{d}{dx}\left(1\right)-\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{-\frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{-1}{x^2}$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{-2}{x\left(2+x\right)}}{\frac{-1}{x^2}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(\frac{2x^2}{x\left(2+x\right)}\right)}$

Simplificar la fracción por $x$

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(\frac{2x}{2+x}\right)}$
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Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(\frac{2x}{2+x}\right)}$

Insertar el valor $\infty $ en el límite

$\frac{2\infty }{2+\infty }$

Cualquier expresión multiplicada por infinito da igual a infinito

$\frac{\infty }{2+\infty }$

Infinito más cualquier otra expresión algebraica es igual a infinito

$\frac{\infty }{\infty }$
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to \infty }\left(\frac{2x}{2+x}\right)$ cuando $x$ tiende a $\infty $, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{\infty }{\infty }$
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Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to \infty }\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(2x\right)}{\frac{d}{dx}\left(2+x\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$2$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(2+x\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(2\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)$

La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$1$

Dividir $2$ entre $1$

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(2\right)}$
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Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$e^{\lim_{x\to\infty }\left(2\right)}$
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Aplicamos la regla: $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, donde $a=2$ y $c=\infty $

$e^{2}$

Respuesta Final

$e^{2}$$\,\,\left(\approx 7.3890560989306495\right)$