Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Método de resolución
Reescribimos el límite haciendo uso de la identidad: $a^x=e^{x\ln\left(a\right)}$
Aplicar la regla de potencia de límites: $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = \lim_{x\to a}f(x)^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$
Aplicamos la regla: $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, donde $a=e$ y $c=\infty $
Reescribir el producto dentro del límite como una fracción
Insertar el valor $\infty $ en el límite
Cualquier expresión dividida por infinito es igual a cero
Calculando el logaritmo natural de $1$
Cualquier expresión dividida por infinito es igual a cero
Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to \infty }\left(\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\right)$ cuando $x$ tiende a $\infty $, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada
Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado
Encontrar la derivada del numerador
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$
La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Combinar $1+\frac{2}{x}$ en una sola fracción
Multiplicando fracciones $\frac{x}{2+x} \times \frac{-2}{x^2}$
Simplificar la fracción por $x$
Encontrar la derivada del denominador
Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Dividir las fracciones $\frac{\frac{-2}{x\left(2+x\right)}}{\frac{-1}{x^2}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$
Simplificar la fracción por $x$
Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en
Insertar el valor $\infty $ en el límite
Cualquier expresión multiplicada por infinito da igual a infinito
Infinito más cualquier otra expresión algebraica es igual a infinito
Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to \infty }\left(\frac{2x}{2+x}\right)$ cuando $x$ tiende a $\infty $, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada
Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado
Encontrar la derivada del numerador
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Encontrar la derivada del denominador
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Dividir $2$ entre $1$
Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en
Aplicamos la regla: $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, donde $a=2$ y $c=\infty $