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f(x)=(1+cos(x))^(1/2)−6−5−4−3−2−10123456−3-2.5−2-1.5−1-0.500.511.522.53xy

Ejercicio

∫1+cosxdx\int\sqrt{1+cosx}dx

Solución explicada paso por paso

1

Multiplicar y dividir por el conjugado de

∫1+cos⁡(x)1−cos⁡(x)1−cos⁡(x)dx\int\sqrt{1+\cos\left(x\right)}\frac{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}}{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}}dx
2

Multiplicando la fracción por el término 1+cos⁡(x)\sqrt{1+\cos\left(x\right)}

∫1−cos⁡(x)1+cos⁡(x)1−cos⁡(x)dx\int\frac{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}\sqrt{1+\cos\left(x\right)}}{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}}dx
3

Aplicar la propiedad de potencia de un producto de manera inversa: an⋅bn=(a⋅b)na^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n

∫(1−cos⁡(x))(1+cos⁡(x))1−cos⁡(x)dx\int\frac{\sqrt{\left(1-\cos\left(x\right)\right)\left(1+\cos\left(x\right)\right)}}{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}}dx
4

Multiplicar el término 1+cos⁡(x)1+\cos\left(x\right) por cada término del polinomio (1−cos⁡(x))\left(1-\cos\left(x\right)\right)

∫1+cos⁡(x)−cos⁡(x)(1+cos⁡(x))1−cos⁡(x)dx\int\frac{\sqrt{1+\cos\left(x\right)-\cos\left(x\right)\left(1+\cos\left(x\right)\right)}}{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}}dx
5

Resolver el producto −cos⁡(x)(1+cos⁡(x))-\cos\left(x\right)\left(1+\cos\left(x\right)\right)

∫1+cos⁡(x)+(−1−cos⁡(x))cos⁡(x)1−cos⁡(x)dx\int\frac{\sqrt{1+\cos\left(x\right)+\left(-1-\cos\left(x\right)\right)\cos\left(x\right)}}{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}}dx
6

Multiplicar el término cos⁡(x)\cos\left(x\right) por cada término del polinomio (−1−cos⁡(x))\left(-1-\cos\left(x\right)\right)

∫1+cos⁡(x)−cos⁡(x)−cos⁡(x)21−cos⁡(x)dx\int\frac{\sqrt{1+\cos\left(x\right)-\cos\left(x\right)-\cos\left(x\right)^2}}{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}}dx
7

Simplificando

∫1−cos⁡(x)21−cos⁡(x)dx\int\frac{\sqrt{1-\cos\left(x\right)^2}}{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}}dx
8

Simplificamos la expresión

∫sin⁡(x)1−cos⁡(x)dx\int\frac{\sin\left(x\right)}{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}}dx
9

Podemos resolver la integral ∫sin⁡(x)1−cos⁡(x)dx\int\frac{\sin\left(x\right)}{\sqrt{1-\cos\left(x\right)}}dx aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla uu), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que 1−cos⁡(x)\sqrt{1-\cos\left(x\right)} es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable uu y asignémosle el candidato

u=1−cos⁡(x)u=\sqrt{1-\cos\left(x\right)}
Crea diagramas como éste con el generador de diagramas
10

Ahora, para poder reescribir dxdx en términos de dudu, necesitamos encontrar la derivada de uu. Por lo tanto, necesitamos calcular dudu, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

du=12(1−cos⁡(x))−12sin⁡(x)dxdu=\frac{1}{2}\left(1-\cos\left(x\right)\right)^{-\frac{1}{2}}\sin\left(x\right)dx
11

Despejando dxdx de la ecuación anterior

du12(1−cos⁡(x))−12sin⁡(x)=dx\frac{du}{\frac{1}{2}\left(1-\cos\left(x\right)\right)^{-\frac{1}{2}}\sin\left(x\right)}=dx
12

Sustituimos uu y dxdx en la integral y luego simplificamos

∫2du\int2du
13

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

2u2u
14

Reemplazar uu por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: 1−cos⁡(x)\sqrt{1-\cos\left(x\right)}

21−cos⁡(x)2\sqrt{1-\cos\left(x\right)}
15

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración CC

21−cos⁡(x)+C02\sqrt{1-\cos\left(x\right)}+C_0

Respuesta final al problema

21−cos⁡(x)+C02\sqrt{1-\cos\left(x\right)}+C_0

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Elige una opción
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Cargar más...
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Otros ejercicios resueltos

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∫√1+cosxdx
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◻√
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log◻
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∫◻
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sec
csc

asin
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acot
asec
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sinh
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tanh
coth
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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
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