Respuesta final al problema
$\frac{-2+2x^2+5x}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)^2}$
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Solución explicada paso por paso
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Hallar la derivada Hallar la derivada con la regla del producto Hallar la derivada con la regla del cociente Diferenciación Logarítmica Derivar usando la definición Sugerir otro método
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1
Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$
$\frac{\frac{d}{dx}\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+5x+6\right)-\left(x^2+x-2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+5x+6\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
2
Simplificar el producto $-(x^2+x-2)$
$\frac{\frac{d}{dx}\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+5x+6\right)+\left(-x^2-\left(x-2\right)\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+5x+6\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
3
Simplificar el producto $-(x-2)$
$\frac{\frac{d}{dx}\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+5x+6\right)+\left(-x^2-x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+5x+6\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
4
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-2\right)\right)\left(x^2+5x+6\right)+\left(-x^2-x+2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+5x+6\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
5
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-2\right)\right)\left(x^2+5x+6\right)+\left(-x^2-x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(5x\right)+\frac{d}{dx}\left(6\right)\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
6
La derivada de la función constante ($-2$) es igual a cero
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\left(x^2+5x+6\right)+\left(-x^2-x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(5x\right)+\frac{d}{dx}\left(6\right)\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
7
La derivada de la función constante ($6$) es igual a cero
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\left(x^2+5x+6\right)+\left(-x^2-x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(5x\right)\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
8
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+1\right)\left(x^2+5x+6\right)+\left(-x^2-x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(5x\right)\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
Pasos intermedios
9
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+1\right)\left(x^2+5x+6\right)+\left(-x^2-x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+5\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
10
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+1\right)\left(x^2+5x+6\right)+\left(-x^2-x+2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+5\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
11
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{\left(2x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)+\left(-x^2-x+2\right)\left(2x+5\right)}{\left(x^2+5x+6\right)^2}$
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Pasos intermedios
12
Simplificar la derivada
$\frac{-2+2x^2+5x}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)^2}$
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Respuesta final al problema
$\frac{-2+2x^2+5x}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)^2}$