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Calcular la integral $\int\frac{x^5-x^4-3x+5}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$

Solución Paso a paso

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Solución

Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{u}+\ln\left|x^{2}+1\right|+\arctan\left(x\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
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Realizamos la división de polinomios, $x^5-x^4-3x+5$ entre $x^4-2x^3+2x^2-2x+1$

$\begin{array}{l}\phantom{\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1;}{\phantom{;}x\phantom{;}+1\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1\overline{\smash{)}\phantom{;}x^{5}-x^{4}\phantom{-;x^n}\phantom{-;x^n}-3x\phantom{;}+5\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1;}\underline{-x^{5}+2x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-x\phantom{;}\phantom{-;x^n}}\\\phantom{-x^{5}+2x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-x\phantom{;};}\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-4x\phantom{;}+5\phantom{;}\phantom{;}\\\phantom{\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1-;x^n;}\underline{-x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+2x\phantom{;}-1\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{;-x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+2x\phantom{;}-1\phantom{;}\phantom{;}-;x^n;}-2x\phantom{;}+4\phantom{;}\phantom{;}\\\end{array}$
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Polinomio resultado de la división

$\int\left(x+1+\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}\right)dx$
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Expandir la integral $\int\left(x+1+\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\int xdx+\int1dx+\int\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$
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La integral $\int xdx$ da como resultado: $\frac{1}{2}x^2$

$\frac{1}{2}x^2$
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La integral $\int1dx$ da como resultado: $x$

$x$
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La integral $\int\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$ da como resultado: $2\int\frac{x}{x^{2}+1}dx+\arctan\left(x\right)+\int\frac{1}{u^2}du-2\ln\left(x-1\right)$

$2\int\frac{x}{x^{2}+1}dx+\arctan\left(x\right)+\int\frac{1}{u^2}du-2\ln\left(x-1\right)$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left|x-1\right|+\int\frac{1}{u^2}du+2\int\frac{x}{x^{2}+1}dx+\arctan\left(x\right)$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{x}{x^{2}+1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $v$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x^{2}+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $v$ y asignémosle el candidato

$v=x^{2}+1$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $dv$, necesitamos encontrar la derivada de $v$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dv$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dv=2xdx$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{dv}{2x}=dx$
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Sustituimos $v$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left|x-1\right|+\int\frac{1}{u^2}du+2\cdot \frac{1}{2}\int\frac{1}{v}dv+\arctan\left(x\right)$
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Multiplicar $2$ por $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left|x-1\right|+\int\frac{1}{u^2}du+\int\frac{1}{v}dv+\arctan\left(x\right)$
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La integral $\int\frac{1}{u^2}du$ da como resultado: $\frac{1}{u}$

$\frac{1}{u}$
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La integral $\int\frac{1}{v}dv$ da como resultado: $\ln\left|x^{2}+1\right|$

$\ln\left|x^{2}+1\right|$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{u}+\ln\left|x^{2}+1\right|+\arctan\left(x\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{u}+\ln\left|x^{2}+1\right|+\arctan\left(x\right)+C_0$

Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{u}+\ln\left|x^{2}+1\right|+\arctan\left(x\right)+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{u}+\ln\left|x^{2}+1\right|+\arctan\left(x\right)+C_0$

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