Derivar con la regla del cociente $\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$\frac{-4\left(1-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)x+\left(-2x-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Hallar la derivada con la regla del cociente
  • Derivar usando la definición
  • Hallar la derivada con la regla del producto
  • Hallar la derivada usando diferenciación logarítmica
  • Hallar la derivada
  • Integrar por fracciones parciales
  • Producto de Binomios con Término Común
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  • Integrar por cambio de variable
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Aplicar la regla de la derivada del cociente de dos funciones, la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$

$\frac{\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)^2\right)\left(x^2+2x+1\right)-\left(1-x^2\right)^2\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+1\right)}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
2

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{2\left(1-x^2\right)^{1}\frac{d}{dx}\left(1-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)-\left(1-x^2\right)^2\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+1\right)}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
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Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión

$\frac{2\left(1-x^2\right)\frac{d}{dx}\left(1-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)-\left(1-x^2\right)^2\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+1\right)}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
4

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{2\left(1-x^2\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)-\left(1-x^2\right)^2\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+1\right)}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
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La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{2\left(1-x^2\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)-\left(1-x^2\right)^2\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
6

Simplificar el producto $-(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right))$

$\frac{2\left(1-x^2\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)+\left(-\frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
7

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$\frac{2\left(1-x^2\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)+\left(-\frac{d}{dx}\left(x^2\right)-2\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
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Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{2\left(1-x^2\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)+\left(-\frac{d}{dx}\left(x^2\right)-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
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La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{-2\left(1-x^2\right)\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)+\left(-\frac{d}{dx}\left(x^2\right)-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{-2\cdot 2\left(1-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)x+\left(- 2x-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
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Multiplicar $-2$ por $2$

$\frac{-4\left(1-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)x+\left(- 2x-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$
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Multiplicar $-1$ por $2$

$\frac{-4\left(1-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)x+\left(-2x-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$

Respuesta final al problema

$\frac{-4\left(1-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)x+\left(-2x-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$

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Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{-4\left(1-x^2\right)\left(x^2+2x+1\right)x+\left(-2x-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x^2+2x+1\right)^2}$

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