Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

Aplicando la identidad trigonométrica: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$

Simplificar $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$

Simplificar la fracción $\frac{\cos\left(\theta \right)}{\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)}$ por $\cos\left(\theta \right)$

Aplicando la identidad de la cosecante: $\displaystyle\csc\left(\theta\right)=\frac{1}{\sin\left(\theta\right)}$

La integral de $\csc(x)$ es $-\ln(\cot(x)+\csc(x))$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$