Calcular la integral trigonométrica $\int\frac{1}{1+\cos\left(x\right)^2}dx$

 Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{\arctan\left(\frac{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{1-\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)}}\right)\sqrt{1+\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+\arctan\left(\frac{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{1+\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)}}\right)\sqrt{1-\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)}}{2\sqrt{1-\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)}\sqrt{1+\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)}}+C_0$