Solución Paso a paso

Calcular la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$

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y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|+C_0$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{x}{x^2-1}dx$

Elige el método de resolución

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Podemos resolver la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x^2-1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=x^2-1$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=x^2-1$

$du=\frac{d}{dx}\left(x^2-1\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(x^2-1\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(-1\right)$

La derivada de la función constante ($-1$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$2x$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2xdx$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{2x}=dx$

Simplificar la fracción $\frac{\frac{x}{u}}{2x}$ por $x$

$\int\frac{1}{2u}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$

$\frac{1}{2}\cdot 1\ln\left|u\right|$

Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $1$

$\frac{1}{2}\ln\left|u\right|$
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La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\frac{1}{2}\ln\left|u\right|$

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x^2-1$

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|+C_0$
$\int\frac{x}{x^2-1}dx$

Tiempo para resolverlo:

~ 0.03 s (SnapXam)