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Calcular la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|+C_0$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
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Podemos resolver la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\sec\left(\theta \right)$
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Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{\sec\left(\theta \right)^2\tan\left(\theta \right)}{\sec\left(\theta \right)^2-1}d\theta$
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Aplicamos la identidad trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, donde $x=\theta $

$\int\frac{\sec\left(\theta \right)^2\tan\left(\theta \right)}{\tan\left(\theta \right)^2}d\theta$
5

Simplificar la fracción por $\tan\left(\theta \right)$

$\int\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}d\theta$
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Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}$ dentro de la integral

$\int\sec\left(\theta \right)\csc\left(\theta \right)d\theta$
7

Reducir la expresión $\sec\left(\theta \right)\csc\left(\theta \right)$ aplicando identidades trigonométricas

$\int\frac{\csc\left(\theta \right)}{\cos\left(\theta \right)}d\theta$
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Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{\csc\left(\theta \right)}{\cos\left(\theta \right)}$ dentro de la integral

$\int2\csc\left(2\theta \right)d\theta$
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La integral de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$2\int\csc\left(2\theta \right)d\theta$
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Podemos resolver la integral $\int\csc\left(2\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2\theta $ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2\theta $
11

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2d\theta$
12

Despejando $d\theta$ de la ecuación anterior

$du=2\cdot d\theta$
13

Sustituimos $u$ y $d\theta$ en la integral y luego simplificamos

$2\int\frac{\csc\left(u\right)}{2}du$
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Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\int\csc\left(u\right)du$
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Simplificamos la expresión

$\int\csc\left(u\right)du$
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La integral de $\csc(x)$ es $-\ln(\cot(x)+\csc(x))$

$-\ln\left|\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right|$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2\theta $

$-\ln\left|\csc\left(2\theta \right)+\cot\left(2\theta \right)\right|$
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Simplificar $\csc\left(2\theta \right)+\cot\left(2\theta \right)$ usando identidades trigonométricas

$-\ln\left|\cot\left(\theta \right)\right|$
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Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|+C_0$

Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|+C_0$

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