Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
- Integrar por sustitución trigonométrica
- Integrar por fracciones parciales
- Integrar por cambio de variable
- Integrar por partes
- Integrar por método tabular
- Integración por Sustitución de Weierstrass
- Integrar usando identidades trigonométricas
- Integrar usando integrales básicas
- Producto de Binomios con Término Común
- Método FOIL
- Cargar más...
Podemos resolver la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=\sec\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
Aplicando la derivada de la función secante: $\frac{d}{dx}\left(\sec(x)\right)=\sec(x)\cdot\tan(x)\cdot D_x(x)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Multiplicando la fracción por el término $\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, donde $x=\theta $
Simplificar la fracción por $\tan\left(\theta \right)$
Simplificar $\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}$ aplicando identidades trigonométricas
Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}$ dentro de la integral
Aplicando la identidad de la secante: $\displaystyle\sec\left(\theta\right)=\frac{1}{\cos\left(\theta\right)}$
Multiplicando la fracción por el término $\csc\left(\theta \right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Reducir la expresión $\sec\left(\theta \right)\csc\left(\theta \right)$ aplicando identidades trigonométricas
Aplicando la identidad de la cosecante: $\displaystyle\csc\left(\theta\right)=\frac{1}{\sin\left(\theta\right)}$
Dividir las fracciones $\frac{\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}}{\cos\left(\theta \right)}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$
Simplificar $\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$ usando la identidad trigonométrica: $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$
Dividir las fracciones $\frac{1}{\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Aplicando la identidad de la cosecante: $\displaystyle\csc\left(\theta\right)=\frac{1}{\sin\left(\theta\right)}$
Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{\csc\left(\theta \right)}{\cos\left(\theta \right)}$ dentro de la integral
La integral de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Podemos resolver la integral $\int\csc\left(2\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2\theta $ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=2\theta $
Encontrar la derivada
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Reorganizar la ecuación
Dividir ambos lados de la ecuación por $2$
Despejando $d\theta$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $d\theta$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Multiplicar la fracción y el término en $2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\int\csc\left(u\right)du$
La integral de $\csc(x)$ es $-\ln(\cot(x)+\csc(x))$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2\theta $
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2\theta $
Simplificar $\csc\left(2\theta \right)+\cot\left(2\theta \right)$ usando identidades trigonométricas
Simplificar el logaritmo $\ln\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
