Solución Paso a paso

Integral de $\frac{x}{x^2-1}$ con respecto a x

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x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|+C_0$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{x}{x^2-1}dx$

Elige el método de resolución

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\sec\left(\theta \right)$
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Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{\sec\left(\theta \right)^2\tan\left(\theta \right)}{\sec\left(\theta \right)^2-1}d\theta$
4

Apply the trigonometric identity: $\sec\left(x\right)^2-1$$=\tan\left(x\right)^2$, where $x=\theta $

$\int\frac{\sec\left(\theta \right)^2\tan\left(\theta \right)}{\tan\left(\theta \right)^2}d\theta$
5

Simplificar la fracción por $\tan\left(\theta \right)$

$\int\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}d\theta$
6

Podemos resolver la integral $\int\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}d\theta$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\tan\left(\theta \right)$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=\tan\left(\theta \right)$
7

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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Despejando $d\theta$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{\sec\left(\theta \right)^2}=d\theta$
9

Sustituimos $u$ y $d\theta$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{1}{u}du$
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La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\ln\left|u\right|$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\theta \right)$

$\ln\left|\tan\left(\theta \right)\right|$
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Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$\ln\left|\frac{\sqrt{x^2-1}}{1}\right|$
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Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión

$\ln\left|\sqrt{x^2-1}\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\ln\left|\sqrt{x^2-1}\right|+C_0$
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Simplificar $\ln\left|\sqrt{x^2-1}\right|$ aplicando propiedades de los logaritmos

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right|+C_0$