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Ejercicio

$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Solución explicada paso por paso

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$
2

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sec\left(\theta \right)}d\theta$
4

Simplificando

$\int6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
5

La integral de una función multiplicada por una constante ($6$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
6

Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)d\theta$
7

Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$
8

Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
9

La integral $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
10

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
11

La integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
12

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$
13

Reduciendo términos semejantes $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$ y $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$-3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}$
14

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$
15

Simplificar la expresión aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente

$-3\ln\left|\sqrt{x^2+6}+x\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$

Respuesta final al problema

$-3\ln\left|\sqrt{x^2+6}+x\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Elige una opción
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Cargar más...
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Tema Principal: Integrales de Funciones Racionales

Integrales de funciones racionales de la forma R(x) = P(x)/Q(x).

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