Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Método de resolución
Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=\frac{6}{\sqrt{6}}\tan\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante ($\frac{6}{\sqrt{6}}$) es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Factor by the greatest common divisor $6$
Calculate the power $\frac{6}{\sqrt{6}}^2$
Multiplying the fraction by $\frac{6}{\sqrt{6}}$
Calculate the power $\frac{6}{\sqrt{6}}^2$
Calcular la potencia $\sqrt{6}$
The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power
Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$
Taking the constant ($6\sqrt{6}$) out of the integral
Simplificar la fracción por $\sec\left(\theta \right)$
Reescribir la fracción $\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)}{\frac{6}{\sqrt{6}}}$
Multiplicar $6\sqrt{6}$ por $\frac{\sqrt{6}}{6}$
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan^2(\theta)=\sec(\theta)^2-1$
Multiplicando polinomios $\sec\left(\theta \right)$ y $\sec\left(\theta \right)^2-1$
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$
La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado
Resolver el producto $6\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $
Reescribir $\sec\left(\theta \right)^3$ como el producto de dos secantes
Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Resolver el producto $6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
Resolver el producto $-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Simplificando
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Reduciendo términos semejantes $-3\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$ y $6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicando la fracción por el término $3$
Sacar el $\frac{3}{\frac{6}{\sqrt{6}}}$ de la fracción
Simplificando
La integral $6\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Simplificando
La integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$ y $-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$