Solución Paso a paso

Integral de $\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}$ con respecto a x

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(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
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e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|+C_0$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Elige el método de resolución

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\frac{6}{\sqrt{6}}\tan\left(\theta \right)$
2

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$
4

Factor by the greatest common divisor $6$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}}d\theta$
5

The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$
6

Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
7

Taking the constant ($6\sqrt{6}$) out of the integral

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
8

Simplificar la fracción por $\sec\left(\theta \right)$

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
9

Sacar el $\frac{6\sqrt{6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}$ de la fracción

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
10

Simplificando

$6\sqrt{6}\int\frac{\sqrt{6}}{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
11

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
12

Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $

$6\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
13

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$6\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
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Reescribir $\sec\left(\theta \right)^3$ como el producto de dos secantes

$6\left(\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
15

Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
16

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(\theta \right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta}\end{matrix}$
17

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(\theta \right)^2d\theta}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(\theta \right)^2d\theta}\end{matrix}$
18

Calcular la integral

$v=\int\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
19

La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$

$\tan\left(\theta \right)$
20

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
21

Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes

$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
22

Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $

$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
23

Resolver el producto $-(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta)$

$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta+\int\sec\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
24

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta\right)$
25

Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$

$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)\right)$
26

Resolver el producto $6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)\right)$

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
27

Resolver el producto $-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}-3\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
28

Simplificando

$3\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
29

La integral $-3\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$

$-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
30

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$3\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
31

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$3\left(\frac{x}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\right)\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\right)-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
32

Multiplicando la fracción por el término $3$

$\frac{3x}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\frac{\sqrt{x^2+6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
33

Sacar el $\frac{3}{\frac{6}{\sqrt{6}}}$ de la fracción

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
34

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|+C_0$