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Calcular la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$-5.999987\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

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Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$

Derivar ambos lados de la ecuación $x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$

$dx=\frac{d}{d\theta}\left(\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{d\theta}\left(\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($\sqrt{6}$) es igual a la constante por la derivada de la función

$\sqrt{6}\frac{d}{d\theta}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$

La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$

$\sqrt{6}\frac{d}{d\theta}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2$
2

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$
4

Factoizar el polinomio $6\tan\left(\theta \right)^2+6$ por su máximo común divisor (MCD): $6$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}}d\theta$
5

Aplicando la regla de potencia de un producto

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$
6

Haciendo uso de la identidad trigonométrica: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}}d\theta$
¿Por qué es tan(x)^2+1 = sec(x)^2 ?
7

Sacar la parte constante ($6\sqrt{6}$) de la integral

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}}d\theta$
8

Simplificar $\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
9

Simplificar la fracción $\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}$ por $\sec\left(\theta \right)$

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)}{\sqrt{6}}d\theta$

Reescribir $\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$ en términos de seno y coseno

$6\sqrt{6}\int\frac{\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}}{\sqrt{6}}d\theta$

Simplificar la fracción $\frac{\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}}{\sqrt{6}}$

$6\sqrt{6}\int\frac{89}{218}\left(\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}\right)d\theta$

Multiplicando la fracción por el término $\frac{89}{218}$

$6\sqrt{6}\int\frac{\frac{89}{218}\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$

Sacar la parte constante ($\frac{89}{218}$) de la integral

$5.999987\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$
10

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$5.999987\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$

Aplicando la identidad trigonométrica: $\sin^2(\theta)=1-\cos(\theta)^2$

$\frac{1-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$
¿Por qué es 1 - cos(x)^2 = sin(x)^2 ?
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Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ dentro de la integral

$5.999987\int\frac{1-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$
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Expandir la fracción $\frac{1-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ en $2$ fracciones más simples con $\cos\left(\theta \right)^{3}$ como denominador en común

$5.999987\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}\right)d\theta$

Simplificar la fracción por $\cos\left(\theta \right)$

$5.999987\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}\right)d\theta$

Aplicando la identidad trigonométrica: $\displaystyle\sec\left(\theta\right)=\frac{1}{\cos\left(\theta\right)}$

$5.999987\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$
13

Simplificar las fracciones resultantes

$5.999987\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$
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Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$5.999987\int\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta+5.999987\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ dentro de la integral

$5.999987\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$

Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes

$5.999987\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(\theta \right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta}\end{matrix}$

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(\theta \right)^2d\theta}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(\theta \right)^2d\theta}\end{matrix}$

Calcular la integral

$v=\int\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$

$\tan\left(\theta \right)$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$5.999987\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

Multiplicar el término $5.999987$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$5.999987\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-5.999987\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado

$5.999987\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-5.999987\int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)d\theta$

Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$

$5.999987\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-5.999987\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$

Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$5.999987\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-5.999987\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-5.999987\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$0.999998\sqrt{x^2+6}x-5.999987\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-5.999987\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$0.999998\sqrt{x^2+6}x-5.999987\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+5.999987\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$0.999998\sqrt{x^2+6}x-5.999987\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+5.999987\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$0.999998\sqrt{x^2+6}x-5.999987\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+5.999987\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$0.999998\sqrt{x^2+6}x-5.999987\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+5.999987\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$

Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$

$0.999998\sqrt{x^2+6}x-5.999987\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{3-1}+\frac{3-2}{3-1}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)+5.999987\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$

Resolver el producto $-5.999987\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{3-1}+\frac{3-2}{3-1}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$0.999998\sqrt{x^2+6}x-5.999987\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)-2.999994\int\sec\left(\theta \right)d\theta+5.999987\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$

Simplificar la fracción $-5.999987\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$

$0.999998\sqrt{x^2+6}x-2.999994\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}-2.999994\int\sec\left(\theta \right)d\theta+5.999987\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$0.999998\sqrt{x^2+6}x-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x-2.999994\int\sec\left(\theta \right)d\theta+5.999987\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$

Reduciendo términos semejantes $0.999998\sqrt{x^2+6}x$ y $-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x$

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x-2.999994\int\sec\left(\theta \right)d\theta+5.999987\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x-2.999994\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+5.999987\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x-2.999994\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)+5.999987\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$
15

La integral $5.999987\int\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$
16

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+5.999987\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-5.999987\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$-5.999987\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$-5.999987\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
17

La integral $5.999987\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-5.999987\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

$-5.999987\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
18

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x-5.999987\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
19

El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes

$M.C.M.=\sqrt{6}$
20

Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $\sqrt{6}$ como denominador común

$2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x-5.999987\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
21

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x-5.999987\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)+C_0$
22

Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos

$-5.999987\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$

Respuesta Final

$-5.999987\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$

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Tema Principal: Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones matemáticas, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

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