Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
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- Integrar por fracciones parciales
- Integrar por cambio de variable
- Integrar por partes
- Integrar por método tabular
- Integrar por sustitución trigonométrica
- Integración por Sustitución de Weierstrass
- Integrar usando identidades trigonométricas
- Integrar usando integrales básicas
- Producto de Binomios con Término Común
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Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Aplicando la regla de potencia de un producto
Multiplicando la fracción por el término $\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2$
Aplicando la regla de potencia de un producto
Simplificar $6\tan\left(\theta \right)^2+6$ en términos de la función secante
Aplicando la regla de potencia de un producto
Simplificar la fracción $\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}$ por $\sqrt{6}$
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Simplificar la fracción $\frac{6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sec\left(\theta \right)}$ por $\sec\left(\theta \right)$
Simplificando
La integral de una función multiplicada por una constante ($6$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2-1$
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$
Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
Resolver el producto $6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Simplificar la fracción $6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$ y $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Simplificar la expresión aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente
