Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
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- Integrar por fracciones parciales
- Integrar por cambio de variable
- Integrar por partes
- Integrar por método tabular
- Integrar por sustitución trigonométrica
- Integración por Sustitución de Weierstrass
- Integrar usando identidades trigonométricas
- Integrar usando integrales básicas
- Producto de Binomios con Término Común
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Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Simplificando
La integral de una función multiplicada por una constante ($6$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $\frac{x^{3}}{2\sqrt{x^2+6}}+6\left(\frac{x}{2\sqrt{x^2+6}}\right)+3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
La integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$ y $-6\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos
