Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Especifica el método de resolución
Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=\sqrt{6}\cdot \tan\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante ($\sqrt{6}$) es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Factoizar el polinomio $6\cdot \tan\left(\theta \right)^2+6$ por su GCF: $6$
The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power
Calculate the power $\left(\sqrt{6}\right)^2$
Calcular la potencia $\sqrt{6}$
The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power
Taking the constant ($6\sqrt{6}$) out of the integral
Simplificar la fracción $\frac{\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\cdot \sec\left(\theta \right)}$ por $\sec\left(\theta \right)$
La integral de una función multiplicada por una constante ($\frac{\sqrt{6}}{6}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Multiplicar $6\sqrt{6}$ por $\frac{\sqrt{6}}{6}$
La integral de una función multiplicada por una constante ($\frac{\sqrt{6}}{6}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan^2(\theta)=\sec(\theta)^2-1$
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}- \sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes
Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Multiplicar el término $6$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)- \int\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicando la fracción por el término $6\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}\right)$
Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
Resolver el producto $-6\cdot \left(\frac{\sin\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Resolver el producto $\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)$
Simplificar la fracción $-6\cdot \left(\frac{\sin\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicando la fracción por el término $-3\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}\right)^{2}$
Simplificar la fracción por $x^2+6$
Reduciendo términos semejantes $x\sqrt{x^2+6}$ y $-\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}$
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Simplificamos la expresión dentro de la integral
La integral $6\cdot \int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$
La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Simplificamos la expresión dentro de la integral
La integral $6\cdot \int- \sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Aplicando la propiedad del logaritmo de un producto: $\log_b\left(MN\right)=\log_b\left(M\right)+\log_b\left(N\right)$
Multiplicando polinomios $-9$ y $-0.89588+\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)$
Podemos combinar y renombrar $8.062918+C_0$ como otra constante de integración
Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos
