Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
$x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$
Pasos intermedios
2
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Simplificar $\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Expandir la fracción $\frac{1-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ en $2$ fracciones más simples con $\cos\left(\theta \right)^{3}$ como denominador en común
Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral $5.999987\int\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+2.999994\ln\left(\frac{89}{218}\sqrt{x^2+6}+\frac{89}{218}x\right)$
La integral $5.999987\int\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}d\theta$ da como resultado: $-5.999987\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes
$M.C.M.=\sqrt{6}$
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Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $\sqrt{6}$ como denominador común
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Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más