$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|+C_0$
$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$
Integrales inmediatas o directas
Integrales por cambio de variable
Integrales por partes
Integrales por sustitución trigonométrica
Integrales por fracciones parciales
Integración por Método Tabular
1
Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
$x=\frac{6}{\sqrt{6}}\tan\left(\theta \right)$
2
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
$dx=\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
3
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$
4
Factor by the greatest common divisor $6$
$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}}d\theta$
5
The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power
$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$
6
Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$
$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
7
Taking the constant ($6\sqrt{6}$) out of the integral
$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
8
Simplificar la fracción por $\sec\left(\theta \right)$
$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
9
Sacar el $\frac{6\sqrt{6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}$ de la fracción
$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
$6\sqrt{6}\int\frac{\sqrt{6}}{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
11
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
$6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
12
Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $
$6\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
13
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
$6\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
14
Reescribir $\sec\left(\theta \right)^3$ como el producto de dos secantes
$6\left(\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
15
Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
16
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(\theta \right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta}\end{matrix}$
17
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(\theta \right)^2d\theta}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(\theta \right)^2d\theta}\end{matrix}$
$v=\int\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
19
La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
$\tan\left(\theta \right)$
20
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
21
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
22
Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $
$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
23
Resolver el producto $-(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta)$
$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta+\int\sec\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
24
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta\right)$
25
Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)\right)$
26
Resolver el producto $6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)\right)$
$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
27
Resolver el producto $-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}-3\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
$3\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
29
La integral $-3\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
$-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
30
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
$3\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
31
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
$3\left(\frac{x}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\right)\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\right)-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
32
Multiplicando la fracción por el término $3$
$\frac{3x}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\frac{\sqrt{x^2+6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
33
Sacar el $\frac{3}{\frac{6}{\sqrt{6}}}$ de la fracción
$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|$
34
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|+C_0$
$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left|\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right|+C_0$