Calcular la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Derivar ambos lados de la ecuación $x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$

Encontrar la derivada

La derivada de una función multiplicada por una constante ($\sqrt{6}$) es igual a la constante por la derivada de la función

La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

Calculate the power $\left(\sqrt{6}\right)^2$

Multiplying the fraction by $\sqrt{6}$

Calculate the power $\left(\sqrt{6}\right)^2$

Calcular la potencia $\sqrt{6}$

Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$

Aplicando la regla de potencia de una potencia

La integral de una función multiplicada por una constante ($\frac{\sqrt{6}}{6}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

Multiplicar $6\sqrt{6}$ por $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan^2(\theta)=\sec(\theta)^2-1$

Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$

Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes

Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

Calcular la integral

La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

Multiplicar el término $6$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$

Resolver el producto $-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

Simplificando

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

Reduciendo términos semejantes $-3\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$ y $6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

Multiplicando la fracción por el término $3$

Multiplicando fracciones $\frac{3x}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}$

Sacar el $\frac{3}{6}$ de la fracción

Simplificando

La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

Simplificando

Aplicando la propiedad del logaritmo de un producto: $\log_b\left(MN\right)=\log_b\left(M\right)+\log_b\left(N\right)$

Multiplicando polinomios $-3$ y $-0.89588+\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)$

Podemos combinar y renombrar $2.687639+C_0$ como otra constante de integración