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Calcular la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$-9\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Especifica el método de resolución

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\sqrt{6}\cdot \tan\left(\theta \right)$

Derivar ambos lados de la ecuación $x=\sqrt{6}\cdot \tan\left(\theta \right)$

$dx=\frac{d}{d\theta}\left(\sqrt{6}\cdot \tan\left(\theta \right)\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{d\theta}\left(\sqrt{6}\cdot \tan\left(\theta \right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($\sqrt{6}$) es igual a la constante por la derivada de la función

$\sqrt{6}\frac{d}{d\theta}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$

La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$

$\sqrt{6}\cdot \sec\left(\theta \right)^2\frac{d}{d\theta}\left(\theta \right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\sqrt{6}\cdot \sec\left(\theta \right)^2$
2

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\sqrt{6}\cdot \sec\left(\theta \right)^2d\theta$
3 Intenta adivinar el Paso 3. O adquiere premium por el precio de un café.
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Factoizar el polinomio $6\cdot \tan\left(\theta \right)^2+6$ por su GCF: $6$

$\int\frac{6\sqrt{6}\cdot \tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\cdot \left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}}d\theta$

The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

$\int\left(\frac{\left(\sqrt{6}\right)^2\cdot \tan\left(\theta \right)^2}{\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2\cdot \tan\left(\theta \right)^2+6}}\right)\sqrt{6}\cdot \sec\left(\theta \right)^2d\theta$

Calculate the power $\left(\sqrt{6}\right)^2$

$\int\frac{6\sqrt{6}\cdot \tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\cdot \tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$

$\int\frac{6\sqrt{6}\cdot \tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$

Calcular la potencia $\sqrt{6}$

$\int\frac{6\sqrt{6}\cdot \tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$
5

The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

$\int\frac{6\sqrt{6}\cdot \tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$
6 Intenta adivinar el Paso 6. O adquiere premium por el precio de un café.
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Taking the constant ($6\sqrt{6}$) out of the integral

$6\sqrt{6}\cdot \int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\cdot \sec\left(\theta \right)}d\theta$
8

Simplificar la fracción $\frac{\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\cdot \sec\left(\theta \right)}$ por $\sec\left(\theta \right)$

$6\sqrt{6}\cdot \int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)}{\sqrt{6}}d\theta$
9 Intenta adivinar el Paso 9. O adquiere premium por el precio de un café.

La integral de una función multiplicada por una constante ($\frac{\sqrt{6}}{6}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$6\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}\cdot \int\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta$

Multiplicar $6\sqrt{6}$ por $\frac{\sqrt{6}}{6}$

$6\cdot \int\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta$
10

La integral de una función multiplicada por una constante ($\frac{\sqrt{6}}{6}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$6\cdot \int\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan^2(\theta)=\sec(\theta)^2-1$

$\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\cdot \sec\left(\theta \right)$
11

Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado

$6\cdot \int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta$
12 Intenta adivinar el Paso 12. O adquiere premium por el precio de un café.
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Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}- \sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$6\cdot \int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+6\cdot \int- \sec\left(\theta \right)d\theta$

Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes

$6\cdot \int\sec\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta$

Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(\theta \right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(\theta \right)\cdot \tan\left(\theta \right)d\theta}\end{matrix}$

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(\theta \right)^2d\theta}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(\theta \right)^2d\theta}\end{matrix}$

Calcular la integral

$v=\int\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$

$\tan\left(\theta \right)$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$6\cdot \left(\tan\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)- \int\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

Multiplicar el término $6$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)- \int\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$\tan\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)\cdot 6-6\cdot \int\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$6\frac{x}{\sqrt{6}}\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}-6\cdot \int\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta$

Multiplicando la fracción por el término $6\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}\right)$

$x\sqrt{x^2+6}-6\cdot \int\tan\left(\theta \right)^2\cdot \sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $

$x\sqrt{x^2+6}-6\cdot \int\sec\left(\theta \right)^3d\theta+6\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$x\sqrt{x^2+6}-6\cdot \int\sec\left(\theta \right)^3d\theta+6\cdot \ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$x\sqrt{x^2+6}-6\cdot \int\sec\left(\theta \right)^3d\theta+6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$x\sqrt{x^2+6}-6\cdot \int\sec\left(\theta \right)^3d\theta+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$

Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$

$x\sqrt{x^2+6}-6\cdot \left(\frac{\sin\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$

Resolver el producto $-6\cdot \left(\frac{\sin\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$x\sqrt{x^2+6}-6\cdot \left(\frac{\sin\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)-3\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$

Resolver el producto $\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)$

$x\sqrt{x^2+6}-6\cdot \left(\frac{\sin\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)-3\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$

Simplificar la fracción $-6\cdot \left(\frac{\sin\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$

$x\sqrt{x^2+6}-3\cdot \sin\left(\theta \right)\cdot \sec\left(\theta \right)^{2}-3\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$x\sqrt{x^2+6}-3\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+6}}\right)\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}\right)^{2}-3\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$

Multiplicando la fracción por el término $-3\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}\right)^{2}$

$x\sqrt{x^2+6}+\frac{-\frac{1}{2}x\left(x^2+6\right)}{\sqrt{x^2+6}}-3\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$

Simplificar la fracción por $x^2+6$

$x\sqrt{x^2+6}-\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$

Reduciendo términos semejantes $x\sqrt{x^2+6}$ y $-\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\cdot \ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$
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La integral $6\cdot \int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)$
15 Intenta adivinar el Paso 15. O adquiere premium por el precio de un café.

La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-6\cdot \int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$-6\cdot \ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
16

La integral $6\cdot \int- \sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
17

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
18 Intenta adivinar el Paso 18. O adquiere premium por el precio de un café.
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)-9\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$

Aplicando la propiedad del logaritmo de un producto: $\log_b\left(MN\right)=\log_b\left(M\right)+\log_b\left(N\right)$

$6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)-9\left(-0.89588+\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$

Multiplicando polinomios $-9$ y $-0.89588+\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)$

$6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)+8.062918-9\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$

Podemos combinar y renombrar $8.062918+C_0$ como otra constante de integración

$6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)-9\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$
20

Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos

$-9\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$

Respuesta Final

$-9\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+6}+\frac{\sqrt{6}}{6}x\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$

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