Solución Paso a paso

Calcular la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

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+
-
×
◻/◻
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÷
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π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\left(\frac{x^2}{\sqrt{x^2^{ }+6}}\right)dx$

Método de resolución

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\frac{6}{\sqrt{6}}\tan\left(\theta \right)$

Derivar ambos lados de la ecuación $x=\frac{6}{\sqrt{6}}\tan\left(\theta \right)$

$dx=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{6}{\sqrt{6}}\tan\left(\theta \right)\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{d\theta}\left(\frac{6}{\sqrt{6}}\tan\left(\theta \right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($\frac{6}{\sqrt{6}}$) es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{6}{\sqrt{6}}\frac{d}{d\theta}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$

La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$

$\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)^2\frac{d}{d\theta}\left(\theta \right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)^2$
2

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$
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Factor by the greatest common divisor $6$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}}d\theta$

$\int\frac{6}{\sqrt{6}}\left(\frac{\frac{6}{\sqrt{6}}^2\tan\left(\theta \right)^2}{\sqrt{\left(\frac{6}{\sqrt{6}}\tan\left(\theta \right)\right)^2+6}}\right)\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

Calculate the power $\frac{6}{\sqrt{6}}^2$

$\int\frac{6}{\sqrt{6}}\left(\frac{6\tan\left(\theta \right)^2}{\sqrt{\left(\frac{6}{\sqrt{6}}\tan\left(\theta \right)\right)^2+6}}\right)\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

Multiplying the fraction by $\frac{6}{\sqrt{6}}$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{\left(\frac{6}{\sqrt{6}}\tan\left(\theta \right)\right)^2+6}}d\theta$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt{6}}^2\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$

Calculate the power $\frac{6}{\sqrt{6}}^2$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$

Calcular la potencia $\sqrt{6}$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$
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The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$
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Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
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Taking the constant ($6\sqrt{6}$) out of the integral

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{6}{\sqrt{6}}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
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Simplificar la fracción por $\sec\left(\theta \right)$

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)}{\frac{6}{\sqrt{6}}}d\theta$
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Reescribir la fracción $\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)}{\frac{6}{\sqrt{6}}}$

$6\sqrt{6}\int\frac{\sqrt{6}}{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

$6\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Multiplicar $6\sqrt{6}$ por $\frac{\sqrt{6}}{6}$

$6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
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La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan^2(\theta)=\sec(\theta)^2-1$

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)d\theta$

Multiplicando polinomios $\sec\left(\theta \right)$ y $\sec\left(\theta \right)^2-1$

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$

La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado

$6\left(\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+\int-\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$6\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

Resolver el producto $6\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$6\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
11

Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $

$6\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Reescribir $\sec\left(\theta \right)^3$ como el producto de dos secantes

$6\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(\theta \right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta}\end{matrix}$

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(\theta \right)^2d\theta}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(\theta \right)^2d\theta}\end{matrix}$

Calcular la integral

$v=\int\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$

$\tan\left(\theta \right)$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

Resolver el producto $6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta+6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta+6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)+6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Resolver el producto $-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}-3\int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Simplificando

$3\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$3\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Reduciendo términos semejantes $-3\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$ y $6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

$3\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+3\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$3\left(\frac{x}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\right)\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\right)+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}+\frac{x}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\right)$

Multiplicando la fracción por el término $3$

$\frac{3x}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\frac{\sqrt{x^2+6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}+\frac{x}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\right)$

Sacar el $\frac{3}{\frac{6}{\sqrt{6}}}$ de la fracción

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}+\frac{x}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\right)$

Simplificando

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
12

La integral $6\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$-6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\frac{6}{\sqrt{6}}}+\frac{x}{\frac{6}{\sqrt{6}}}\right)$

Simplificando

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
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La integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
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Reduciendo términos semejantes $3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$ y $-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$

Respuesta Final

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$
$\int\left(\frac{x^2}{\sqrt{x^2^{ }+6}}\right)dx$

Fórmulas Relacionadas:

3. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.21 s