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Calcular la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$-3\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

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  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Cargar más...
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Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$
2

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$
4

Factoizar el polinomio $6\tan\left(\theta \right)^2+6$ por su máximo común divisor (MCD): $6$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}}d\theta$
5

Aplicando la regla de potencia de un producto

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$
6

Aplicando la identidad trigonométrica: $1+\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}}d\theta$
¿Por qué es tan(x)^2+1 = sec(x)^2 ?
7

Sacar la parte constante ($6\sqrt{6}$) de la integral

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}}d\theta$
8

Simplificar $\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
9

Simplificar la fracción $\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}$ por $\sec\left(\theta \right)$

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)}{\sqrt{6}}d\theta$
10

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$6\sqrt{6}\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$
11

Sacar el término constante $\frac{1}{\sqrt{6}}$ de la integral

$6\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$
12

Multiplicar $6\sqrt{6}$ por $\frac{\sqrt{6}}{6}$

$6\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$
13

Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ dentro de la integral

$6\int\frac{1-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$
14

Expandir la fracción $\frac{1-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ en $2$ fracciones más simples con $\cos\left(\theta \right)^{3}$ como denominador en común

$6\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}\right)d\theta$
15

Simplificar las fracciones resultantes

$6\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}\right)d\theta$
16

Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$6\int\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta+6\int\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}d\theta$
17

La integral $6\int\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+6\int\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}d\theta$
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La integral $6\int\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
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Reduciendo términos semejantes $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$ y $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x$
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El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes

$M.C.M.=\sqrt{6}$
23

Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $\sqrt{6}$ como denominador común

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_0$
25

Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos

$-3\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$

Respuesta final al problema

$-3\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $-3\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$

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Tema Principal: Integrales de Funciones Exponenciales

Son integrales que involucran funciones exponenciales. Recordemos que una función exponencial es aquella función de la forma f(x)=a^x.

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