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Solución Paso a paso

Calcular la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

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Respuesta Final

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Elige el método de resolución

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$

Derivar ambos lados de la ecuación $x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$

$dx=\frac{d}{d\theta}\left(\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{d\theta}\left(\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($\sqrt{6}$) es igual a la constante por la derivada de la función

$\sqrt{6}\frac{d}{d\theta}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$

La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$

$\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2\frac{d}{d\theta}\left(\theta \right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2$
2

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$
4

Factor the polynomial $6\tan\left(\theta \right)^2+6$ by it's GCF: $6$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}}d\theta$

The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

$\int\sqrt{6}\left(\frac{\left(\sqrt{6}\right)^2\tan\left(\theta \right)^2}{\sqrt{\left(\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)\right)^2+6}}\right)\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

Calculate the power $\left(\sqrt{6}\right)^2$

$\int\sqrt{6}\left(\frac{6\tan\left(\theta \right)^2}{\sqrt{\left(\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)\right)^2+6}}\right)\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

Multiplying the fraction by $\sqrt{6}$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{\left(\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)\right)^2+6}}d\theta$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$

Calculate the power $\left(\sqrt{6}\right)^2$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$

Calcular la potencia $\sqrt{6}$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$
5

The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$

Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}}d\theta$

Aplicando la regla de potencia de una potencia

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
6

Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
7

Taking the constant ($6\sqrt{6}$) out of the integral

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
8

Simplificar la fracción $\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}$ por $\sec\left(\theta \right)$

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)}{\sqrt{6}}d\theta$
9

Reescribir la fracción $\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)}{\sqrt{6}}$

$6\sqrt{6}\int\frac{\sqrt{6}}{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$6\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Multiplicar $6\sqrt{6}$ por $\frac{\sqrt{6}}{6}$

$6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
10

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan^2(\theta)=\sec(\theta)^2-1$

$\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)$
11

Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)d\theta$

Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$

$\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)$
12

Reescribir el integrando $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)$ en forma expandida

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$
13

Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+6\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes

$6\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(\theta \right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta}\end{matrix}$

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(\theta \right)^2d\theta}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(\theta \right)^2d\theta}\end{matrix}$

Calcular la integral

$v=\int\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$

$\tan\left(\theta \right)$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$6\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

Multiplicar el término $6$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta+6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta+6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)+6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Resolver el producto $-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$6\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)-3\int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Simplificando

$3\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\int\sec\left(\theta \right)d\theta+6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$3\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-3\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Reduciendo términos semejantes $-3\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$ y $6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

$3\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+3\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$3\left(\frac{x}{\sqrt{6}}\right)\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}\right)+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

Multiplicando la fracción por el término $3$

$\frac{3x}{\sqrt{6}}\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

Sacar el $\frac{3}{\sqrt{6}}$ de la fracción

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

Simplificando

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
14

La integral $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
15

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+6\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$-6\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

Simplificando

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
16

La integral $6\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
17

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)$
18

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$

Respuesta Final

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$
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