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Calcular la integral $\int x^2\sin\left(x\right)dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Integrar por método tabular
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
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Podemos resolver la integral $\int x^2\sin\left(x\right)dx$ aplicando el método tabular para la integración por partes, el cual nos permite integrar por partes de forma sucesiva integrales de la forma $\int P(x)T(x) dx$. $P(x)$ típicamente es un polinomio y $T(x)$ es una función trascendente como $\sin(x)$, $\cos(x)$ y $e^x$. El primer paso es escoger las funciones $P(x)$ y $T(x)$

$\begin{matrix}P(x)=x^2 \\ T(x)=\sin\left(x\right)\end{matrix}$
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Derivar $P(x)$ hasta que se vuelva $0$

$0$
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Integrar $T(x)$ tantas veces como hayamos tenido que derivar $P(x)$, por lo que debemos integrar $\sin\left(x\right)$ un total de $3$ veces

$\cos\left(x\right)$
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Con las derivadas e integrales de ambas funciones construimos la siguiente tabla

$\begin{matrix}\mathrm{Derivadas} & \mathrm{Signo} & \mathrm{Integrales} \\ & & \sin\left(x\right) \\ x^2 & + & -\cos\left(x\right) \\ 2x & - & -\sin\left(x\right) \\ 2 & + & \cos\left(x\right) \\ 0 & & \end{matrix}$
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Luego, la solución consiste en la suma de los productos de las derivadas y las integrales según la tabla anterior. El primer término consiste en el producto de la función polinomial por la primera integral. El segundo término es el producto de la primera derivada por la segunda integral, y así sucesivamente.

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$

Respuesta final al problema

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$

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Tema Principal: Cálculo Integral

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

Fórmulas Usadas

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