Solución Paso a paso

Calcular la integral $\int x^2\sin\left(x\right)dx$

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+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int x^2sin\left(x\right)dx$

Método de resolución

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Podemos resolver la integral $\int x^2\sin\left(x\right)dx$ aplicando el método tabular para la integración por partes, el cual nos permite integrar por partes de forma sucesiva integrales de la forma $\int P(x)T(x) dx$. $P(x)$ típicamente es un polinomio y $T(x)$ es una función trascendente como $\sin(x)$, $\cos(x)$ y $e^x$. El primer paso es escoger las funciones $P(x)$ y $T(x)$

$\begin{matrix}P(x)=x^2 \\ T(x)=\sin\left(x\right)\end{matrix}$

Derivar $x^2$ con respecto a $x$

$x^2$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$2x$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$2$

La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero

0
2

Derivar $P(x)$ hasta que se vuelva $0$

$0$

Integrar $\sin\left(x\right)$ con respecto a $x$

$\sin\left(x\right)$

La integral del seno de función es igual a menos el coseno de la misma función, en otras palabras: $\int\sin(x)dx=-\cos(x)$

$-\cos\left(x\right)$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\int\cos\left(x\right)dx$

La integral del coseno de una función es igual al seno de la misma función, en otras palabras: $\int\cos(x)dx=\sin(x)$

$-\sin\left(x\right)$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\int\sin\left(x\right)dx$

La integral del seno de función es igual a menos el coseno de la misma función, en otras palabras: $\int\sin(x)dx=-\cos(x)$

$\cos\left(x\right)$
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Integrar $T(x)$ tantas veces como hayamos tenido que derivar $P(x)$

$\cos\left(x\right)$
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Con las derivadas e integrales de ambas funciones construimos la siguiente tabla

$\begin{matrix}\mathrm{Derivadas} & \mathrm{Signo} & \mathrm{Integrales} \\ & & \sin\left(x\right) \\ x^2 & + & -\cos\left(x\right) \\ 2x & - & -\sin\left(x\right) \\ 2 & + & \cos\left(x\right) \\ 0 & & \end{matrix}$
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Luego, la solución consiste en la suma de los productos de las derivadas y las integrales según la tabla anterior. El primer término consiste en el producto de la función polinomial por la primera integral. El segundo término es el producto de la primera derivada por la segunda integral, y así sucesivamente.

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$

Respuesta Final

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$
$\int x^2sin\left(x\right)dx$

Tema principal:

Cálculo

Fórmulas Relacionadas:

7. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.05 s