Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Método de resolución
Podemos resolver la integral $\int x^2\sin\left(x\right)dx$ aplicando el método tabular para la integración por partes, el cual nos permite integrar por partes de forma sucesiva integrales de la forma $\int P(x)T(x) dx$. $P(x)$ típicamente es un polinomio y $T(x)$ es una función trascendente como $\sin(x)$, $\cos(x)$ y $e^x$. El primer paso es escoger las funciones $P(x)$ y $T(x)$
Derivar $x^2$ con respecto a $x$
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero
Derivar $P(x)$ hasta que se vuelva $0$
Integrar $\sin\left(x\right)$ con respecto a $x$
La integral del seno de función es igual a menos el coseno de la misma función, en otras palabras: $\int\sin(x)dx=-\cos(x)$
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral del coseno de una función es igual al seno de la misma función, en otras palabras: $\int\cos(x)dx=\sin(x)$
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral del seno de función es igual a menos el coseno de la misma función, en otras palabras: $\int\sin(x)dx=-\cos(x)$
Integrar $T(x)$ tantas veces como hayamos tenido que derivar $P(x)$
Con las derivadas e integrales de ambas funciones construimos la siguiente tabla
Luego, la solución consiste en la suma de los productos de las derivadas y las integrales según la tabla anterior. El primer término consiste en el producto de la función polinomial por la primera integral. El segundo término es el producto de la primera derivada por la segunda integral, y así sucesivamente.
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$