Solución Paso a paso

Derivar por definición $\ln\left(x\right)$

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a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{x}$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$derivdef\left(\ln\left(x\right)\right)$
1

Aplicamos la definición de derivada: $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. La función $f(x)$ es la función que queremos derivar, la cual es $\ln\left(x\right)$. Reemplazando $f(x+h)$ y $f(x)$ en el límite

$\lim_{h\to0}\left(\frac{\ln\left(x+h\right)-\ln\left(x\right)}{h}\right)$
2

Aplicando la propiedad de la resta de dos logaritmos de igual base $b$: $\log_b(x)-\log_b(y)=\log_b\left(\frac{x}{y}\right)$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}\right)$
3

Simplificando la fracción

$\lim_{h\to0}\left(\frac{1}{h}\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)\right)$
4

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia de manera inversa

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(\frac{x+h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
5

Separar la fracción $\frac{x+h}{x}$ en dos fracciones con mismo denominador común $x$

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(\frac{x}{x}+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
6

Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
7

Aplicamos la sustitución $\frac{h}{x}=\frac{1}{n}$, luego $h=\frac{x}{n}$. Como $h$ tiende a $0$, es lo mismo a que si $n$ tiende a $\infty$. Sustituyendo obtenemos

$\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{x}}\right)\right)$
8

Reescribir el exponente $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{x}}$ aplicando propiedades de los exponentes

$\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac{1}{x}}\right)\right)$
9

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\lim_{n\to\infty }\left(\frac{1}{x}\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
10

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

$\frac{1}{x}\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
11

El límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite

$\frac{1}{x}\ln\left(\lim_{n\to\infty }\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
12

Utilizando la representación de $e$ como el límite de una sucesión

$\frac{1}{x}$

Respuesta Final

$\frac{1}{x}$
$derivdef\left(\ln\left(x\right)\right)$

Tema principal:

Definición de Derivada

Tiempo para resolverlo:

~ 0.15 s (SnapXam)