$\frac{1}{8}$$\,\,\left(\approx 0.125\right)$
$\lim_{x\to\:10}\left(\frac{\sqrt{x+6}-4}{x-10}\right)$
Límites por regla de l'Hôpital
Límites por factorización
Límites por racionalización
1
Si intentamos evaluar el límite directamente, resulta en forma indeterminada. Entonces necesitamos aplicar la regla de L'Hôpital
$\lim_{x\to10}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+6}-4\right)}{\frac{d}{dx}\left(x-10\right)}\right)$
2
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado
$\lim_{x\to10}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+6}\right)+\frac{d}{dx}\left(-4\right)}{\frac{d}{dx}\left(x-10\right)}\right)$
3
La derivada de la función constante ($-4$) es igual a cero
$\lim_{x\to10}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+6}\right)}{\frac{d}{dx}\left(x-10\right)}\right)$
4
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\lim_{x\to10}\left(\frac{\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x+6\right)}{\frac{d}{dx}\left(x-10\right)}\right)$
5
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado
$\lim_{x\to10}\left(\frac{\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(6\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(x-10\right)}\right)$
6
La derivada de la función constante ($6$) es igual a cero
$\lim_{x\to10}\left(\frac{\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x\right)}{\frac{d}{dx}\left(x-10\right)}\right)$
7
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
$\lim_{x\to10}\left(\frac{\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}}{\frac{d}{dx}\left(x-10\right)}\right)$
8
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado
$\lim_{x\to10}\left(\frac{\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}}{\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-10\right)}\right)$
9
La derivada de la función constante ($-10$) es igual a cero
$\lim_{x\to10}\left(\frac{\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}}{\frac{d}{dx}\left(x\right)}\right)$
10
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
$\lim_{x\to10}\left(\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
11
Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$
$\frac{1}{2}\lim_{x\to10}\left(\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
12
Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $x$ por $10$
$\frac{1}{2}\cdot \left(10+6\right)^{-0.5}$
$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}$
14
Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{1}{8}$$\,\,\left(\approx 0.125\right)$