Solución Paso a paso

Evaluar el límite de $\frac{\sqrt{x+6}-4}{x-10}$ cuando $x$ tiende a $10$

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x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{8}$$\,\,\left(\approx 0.125\right)$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\lim_{x\to\:10}\left(\frac{\sqrt{x+6}-4}{x-10}\right)$

Elige el método de resolución

Insertar el valor $10$ en el límite

$\frac{\sqrt{10+6}-4}{10-10}$

Sumar los valores $10$ y $6$

$\frac{\sqrt{16}-4}{10-10}$

Calcular la potencia $\sqrt{16}$

$\frac{4-4}{10-10}$

Restar los valores $4$ y $-4$

$\frac{0}{10-10}$

Restar los valores $10$ y $-10$

$\frac{0}{0}$
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 10}\left(\frac{\sqrt{x+6}-4}{x-10}\right)$ cuando $x$ tiende a $10$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
2

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 10}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+6}-4\right)}{\frac{d}{dx}\left(x-10\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+6}-4\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+6}\right)+\frac{d}{dx}\left(-4\right)$

La derivada de la función constante ($-4$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+6}\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x+6\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(6\right)\right)$

La derivada de la función constante ($6$) es igual a cero

$\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(x-10\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-10\right)$

La derivada de la función constante ($-10$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$1$
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Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$\lim_{x\to10}\left(\frac{\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}}{1}\right)$
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Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión

$\lim_{x\to10}\left(\frac{1}{2}\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
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Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

$\frac{1}{2}\lim_{x\to10}\left(\left(x+6\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
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Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{2}\lim_{x\to10}\left(\frac{1}{\sqrt{x+6}}\right)$
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Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to10}\left(\frac{1}{\sqrt{x+6}}\right)$ por $x$

$\frac{1}{\sqrt{10+6}}$

Sumar los valores $10$ y $6$

$\frac{1}{\sqrt{16}}$

Calcular la potencia $\sqrt{16}$

$\frac{1}{4}$

Dividir $1$ entre $4$

$\frac{1}{4}$
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Simplificando, obtenemos

$\frac{1}{4}$
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Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$

$\frac{1}{8}$

Respuesta Final

$\frac{1}{8}$$\,\,\left(\approx 0.125\right)$
$\lim_{x\to\:10}\left(\frac{\sqrt{x+6}-4}{x-10}\right)$

Tema principal:

Límite de una función

Fórmulas Relacionadas:

4. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.06 s (SnapXam)