Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Elige el método de resolución
Insertar el valor $10$ en el límite
Sumar los valores $10$ y $6$
Calcular la potencia $\sqrt{16}$
Restar los valores $4$ y $-4$
Restar los valores $10$ y $-10$
Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 10}\left(\frac{\sqrt{x+6}-4}{x-10}\right)$ cuando $x$ tiende a $10$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada
Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado
Encontrar la derivada del numerador
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado
La derivada de la función constante ($-4$) es igual a cero
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado
La derivada de la función constante ($6$) es igual a cero
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Encontrar la derivada del denominador
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado
La derivada de la función constante ($-10$) es igual a cero
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en
Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión
Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$
Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número
Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to10}\left(\frac{1}{\sqrt{x+6}}\right)$ por $x$
Sumar los valores $10$ y $6$
Calcular la potencia $\sqrt{16}$
Dividir $1$ entre $4$
Simplificando, obtenemos
Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$