Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Elige el método de resolución
Para derivar la función $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
Aplicando la propiedad del logaritmo de un producto: $\log_b\left(MN\right)=\log_b\left(M\right)+\log_b\left(N\right)$
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de una función multiplicada por una constante ($5$) es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada de una función multiplicada por una constante ($6$) es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Multiplicando la fracción por el término $10$
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
La derivada de la función constante ($-3$) es igual a cero
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
Restar los valores $4$ y $-1$
Multiplicar $6$ por $4$
Multiplicando la fracción por el término $24$
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
Despejar $y'$
Dividir las fracciones $\frac{\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}}{\frac{1}{y}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Despejar $y'$
Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
La derivada de la función es entonces
El mínimo común múltiplo de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes
Obtenido el mínimo común multiplo, colocamos el MCM como denominador de cada fracción y en el numerador de cada fracción añadimos los factores que nos hacen falta para completar
Simplificar los numeradores
Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)$ como denominador común
Multiplicando la fracción por el término $\left(2x+1\right)^5$
Multiplicando la fracción por el término $\left(x^4-3\right)^6$
Simplificar la fracción $\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$ por $2x+1$
Simplificar la fracción $\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^6}{x^4-3}$ por $x^4-3$
Simplificando