Respuesta Final
$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
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1
Para derivar la función $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
$y=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
2
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$
Pasos intermedios
3
Aplicar propiedades de los logaritmos a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
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4
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
5
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
Pasos intermedios
6
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
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7
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
Pasos intermedios
8
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$
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Pasos intermedios
9
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
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10
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
11
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^4\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)$
12
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^4\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)$
13
La derivada de la función constante ($-3$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Pasos intermedios
14
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{y^{\prime}}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
15
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Explicar más este paso
16
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Pasos intermedios
17
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$
Explicar más este paso
18
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
19
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$
$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)y$
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Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
21
La derivada de la función es entonces
$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
Respuesta Final$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$