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Derivar usando el método de diferenciación logarítmica $\frac{d}{dx}\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$

Solución Paso a paso

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Solución

Respuesta final al problema

$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Hallar la derivada usando diferenciación logarítmica
  • Derivar usando la definición
  • Hallar la derivada con la regla del producto
  • Hallar la derivada con la regla del cociente
  • Hallar la derivada
  • Integrar por fracciones parciales
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
  • Integrar por cambio de variable
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Para derivar la función $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación

$y=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
2

Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$

Aplicar propiedades de los logaritmos a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$

Aplicando la propiedad del logaritmo de un producto: $\log_b\left(MN\right)=\log_b\left(M\right)+\log_b\left(N\right)$

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\right)+\ln\left(\left(x^4-3\right)^6\right)$

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+\ln\left(\left(x^4-3\right)^6\right)$

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
3

Aplicar propiedades de los logaritmos a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
4

Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
5

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
6

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
7

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(6\ln\left(x^4-3\right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($6$) es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$
8

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
9

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
10

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

La derivada de la función constante ($-3$) es igual a cero

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
11

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$10\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$10\left(\frac{1}{2x+1}\right)$
12

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$\frac{y^{\prime}}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
13

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10\cdot 1}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
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Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{\left(4-1\right)}$

Restar los valores $4$ y $-1$

$24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\cdot 4\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$
16

Multiplicar $6$ por $4$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24\cdot 1x^{3}}{x^4-3}$

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10\cdot 1}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
17

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
18

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$

$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)y$
19

Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
20

La derivada de la función es entonces

$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes

$M.C.M.=\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)$

Obtenido el mínimo común multiplo (MCM), lo colocamos como denominador de cada fracción, y en el numerador de cada fracción añadimos los factores que nos hacen falta para completar

$\frac{10\left(x^4-3\right)}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}+\frac{24x^{3}\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$

Simplificar los numeradores

$\frac{10x^4-30}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}+\frac{48x^{3}x+24x^{3}}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$

Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)$ como denominador común

$\frac{58x^{4}-30+24x^{3}}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

Multiplicando la fracción por el término $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

$\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$

Simplificar la fracción $\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$ por $2x+1$

$\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^6}{x^4-3}$

Simplificar la fracción $\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^6}{x^4-3}$ por $x^4-3$

$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$
21

Simplificar la derivada

$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$

Respuesta final al problema

$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$

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Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de: $\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$

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