$\left(2x+1\right)^{5}\left(x^4-3\right)^{6}\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
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$\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
Reglas básicas de Diferenciación
Diferenciación logarítmica
Definición de Derivada
1
Para derivar la función $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
$y=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
2
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$
3
Aplicando la propiedad del logaritmo de un producto: $\log_b\left(MN\right)=\log_b\left(M\right)+\log_b\left(N\right)$
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\right)+\ln\left(\left(x^4-3\right)^6\right)$
4
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+\ln\left(\left(x^4-3\right)^6\right)$
5
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
6
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
7
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
$1y^{\prime}\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
8
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
9
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
10
La derivada de una función multiplicada por una constante ($5$) es igual a la constante por la derivada de la función
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
11
La derivada de una función multiplicada por una constante ($6$) es igual a la constante por la derivada de la función
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$
12
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$
13
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
14
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+0\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
15
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\cdot 2\left(\frac{1}{2x+1}\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
Multiplicar la fracción por el término
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función
$\frac{10}{2x+1}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
$\frac{10}{2x+1}$
16
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
17
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^4\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+0\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^4\right)+0\right)$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
18
La derivada de la función constante ($-3$) es igual a cero
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\cdot 4x^{\left(4-1\right)}\left(\frac{1}{x^4-3}\right)$
Restar los valores $4$ y $-1$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\cdot 4x^{3}\left(\frac{1}{x^4-3}\right)$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+24x^{3}\left(\frac{1}{x^4-3}\right)$
Multiplicar la fracción por el término
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
19
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
$y^{\prime}=\frac{\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}}{\frac{1}{y}}$
Dividir las fracciones $\frac{\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}}{\frac{1}{y}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
$y^{\prime}=y\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
$y^{\prime}=y\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
21
Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
22
La derivada de la función es entonces
$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
Multiplicando polinomios $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$ y $\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
$\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\frac{10}{2x+1}+\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
Factoizar el polinomio $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\frac{10}{2x+1}+\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\frac{24x^{3}}{x^4-3}$ por su GCF: $\left(2x+1\right)^{5}\left(x^4-3\right)^{6}$
$\left(2x+1\right)^{5}\left(x^4-3\right)^{6}\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
$\left(2x+1\right)^{5}\left(x^4-3\right)^{6}\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
$\left(2x+1\right)^{5}\left(x^4-3\right)^{6}\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
