Solución Paso a paso

Derivar usando el método de diferenciación logarítmica $\frac{d}{dx}\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$

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Respuesta Final

$\left(2x+1\right)^{5}\left(x^4-3\right)^{6}\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

Método de resolución

1

Para derivar la función $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación

$y=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
2

Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$
3

Aplicando la propiedad del logaritmo de un producto: $\log_b\left(MN\right)=\log_b\left(M\right)+\log_b\left(N\right)$

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\right)+\ln\left(\left(x^4-3\right)^6\right)$
4

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+\ln\left(\left(x^4-3\right)^6\right)$
5

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
6

Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
7

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$

$1y^{\prime}\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
8

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
9

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
10

La derivada de una función multiplicada por una constante ($5$) es igual a la constante por la derivada de la función

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
11

La derivada de una función multiplicada por una constante ($6$) es igual a la constante por la derivada de la función

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$
12

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$
13

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
14

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+0\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
15

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\cdot 2\left(\frac{1}{2x+1}\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

Multiplicar $5$ por $2$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

Multiplicar la fracción por el término

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{10}{2x+1}\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{10}{2x+1}$
16

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
17

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^4\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+0\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$y^{\prime}\frac{1}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^4\right)+0\right)$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
18

La derivada de la función constante ($-3$) es igual a cero

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\cdot 4x^{\left(4-1\right)}\left(\frac{1}{x^4-3}\right)$

Restar los valores $4$ y $-1$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\cdot 4x^{3}\left(\frac{1}{x^4-3}\right)$

Multiplicar $6$ por $4$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+24x^{3}\left(\frac{1}{x^4-3}\right)$

Multiplicar la fracción por el término

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
19

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$y^{\prime}\frac{1}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$

$y^{\prime}=\frac{\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}}{\frac{1}{y}}$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}}{\frac{1}{y}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$y^{\prime}=y\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
20

Despejar $y'$

$y^{\prime}=y\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
21

Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
22

La derivada de la función es entonces

$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

Multiplicando polinomios $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$ y $\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$

$\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\frac{10}{2x+1}+\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\frac{24x^{3}}{x^4-3}$

Factoizar el polinomio $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\frac{10}{2x+1}+\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\frac{24x^{3}}{x^4-3}$ por su GCF: $\left(2x+1\right)^{5}\left(x^4-3\right)^{6}$

$\left(2x+1\right)^{5}\left(x^4-3\right)^{6}\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
23

Simplificando

$\left(2x+1\right)^{5}\left(x^4-3\right)^{6}\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$

Respuesta Final

$\left(2x+1\right)^{5}\left(x^4-3\right)^{6}\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)$
SnapXam A2
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tanh
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acosh
atanh
acoth
asech
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Tips para mejorar tu respuesta:

$\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

Fórmulas Relacionadas:

6. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.23 s