Derivar por definición la función $\sin\left(x\right)$

Calcular la derivada $\sin\left(x\right)$ usando la definición. Aplicamos la definición de derivada: $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. La función $f(x)$ es la función que queremos derivar, la cual es $\sin\left(x\right)$. Reemplazando $f(x+h)$ y $f(x)$ en el límite, obtenemos

Utilizando la identidad del seno de la suma de dos ángulos: $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)\pm\cos(\alpha)\sin(\beta)$, donde el ángulo $\alpha$ equivale a $x$, y el ángulo $\beta$ equivale a $h$

Factorizar la expresión por $\sin\left(x\right)$

Expandir la fracción $\frac{\sin\left(x\right)\left(\cos\left(h\right)-1\right)+\cos\left(x\right)\sin\left(h\right)}{h}$ en $2$ fracciones más simples con $h$ como denominador en común

Usamos la propiedad del límite de la suma de dos o más funciones: $\displaystyle\lim_{x\to c}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to c}(f(x))\pm\lim_{x\to c}(g(x))$

Aplicando el Teorema del Sandwich, el cual dice que: Sea $I$ un intervalo que contiene al punto $c$, y sean $f(x)$, $g(x)$, y $h(x)$ funciones definidas en $I$. Si para todo $x$ distinta de $c$ dentro del intervalo $I$ se cumple que $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ y también que: $\displaystyle\lim_{x\to c}{g(x)}=\lim_{x\to c}{h(x)}=L$, entonces: $\displaystyle\lim_{x\to c}{f(x)}=L$

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

Sabiendo que $\displaystyle\lim_{h\to 0}{\left(\frac{\cos(h)-1}{h}\right)}=0$

Cualquier expresión multiplicada por $0$ da $0$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión