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Ejercicio

$x\frac{dy}{dx}+7y=14$

Solución explicada paso por paso

1

Dividir todos los términos de la ecuación diferencial por $x$

$\frac{x}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{7y}{x}=\frac{14}{x}$
2

Simplificando

$\frac{dy}{dx}+\frac{7y}{x}=\frac{14}{x}$
3

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{7}{x}$ y $Q(x)=\frac{14}{x}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
4

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{7}{x}dx=7\ln\left(x\right)$
5

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^7$
6

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}x^7+7yx^{6}=14x^{6}$
7

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^7y\right)=14x^{6}$
8

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^7y\right)dx=\int14x^{6}dx$
9

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^7y=\int14x^{6}dx$
10

Resolver la integral $\int14x^{6}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^7y=2x^{7}+C_0$
11

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=2+\frac{C_0}{x^7}$

Respuesta final al problema

$y=2+\frac{C_0}{x^7}$

¿Cómo debo resolver este problema?

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$x-6=-4$
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