Calcular la derivada $\sin\left(x\right)$ usando la definición. Aplicamos la definición de derivada: $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. La función $f(x)$ es la función que queremos derivar, la cual es $\sin\left(x\right)$. Reemplazando $f(x+h)$ y $f(x)$ en el límite, obtenemos

Utilizando la identidad del seno de la suma de dos ángulos: $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)\pm\cos(\alpha)\sin(\beta)$, donde el ángulo $\alpha$ equivale a $x$, y el ángulo $\beta$ equivale a $h$

Factorizar la expresión por $\sin\left(x\right)$

Expandir la fracción $\frac{\sin\left(x\right)\left(\cos\left(h\right)-1\right)+\cos\left(x\right)\sin\left(h\right)}{h}$ en $2$ fracciones más simples con $h$ como denominador en común

Usamos la propiedad del límite de la suma de dos o más funciones: $\displaystyle\lim_{x\to c}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to c}(f(x))\pm\lim_{x\to c}(g(x))$

Aplicando el Teorema del Sandwich, el cual dice que: Sea $I$ un intervalo que contiene al punto $c$, y sean $f(x)$, $g(x)$, y $h(x)$ funciones definidas en $I$. Si para todo $x$ distinta de $c$ dentro del intervalo $I$ se cumple que $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ y también que: $\displaystyle\lim_{x\to c}{g(x)}=\lim_{x\to c}{h(x)}=L$, entonces: $\displaystyle\lim_{x\to c}{f(x)}=L$

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión