Calcular la derivada $\cos\left(2x\right)$ usando la definición. Aplicamos la definición de derivada: $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. La función $f(x)$ es la función que queremos derivar, la cual es $\cos\left(2x\right)$. Reemplazando $f(x+h)$ y $f(x)$ en el límite, obtenemos

Multiplicar el término $2$ por cada término del polinomio $\left(x+h\right)$

Utilizando la identidad del coseno de la suma de dos ángulos: $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)\mp\sin(\alpha)\sin(\beta)$, donde el ángulo $\alpha$ equivale a $2x$, y el ángulo $\beta$ equivale a $2h$

Factorizar la expresión por $\cos\left(2x\right)$

Expandir la fracción $\frac{\cos\left(2x\right)\left(\cos\left(2h\right)-1\right)-\sin\left(2x\right)\sin\left(2h\right)}{h}$ en $2$ fracciones más simples con $h$ como denominador en común

Usamos la propiedad del límite de la suma de dos o más funciones: $\displaystyle\lim_{x\to c}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to c}(f(x))\pm\lim_{x\to c}(g(x))$

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

Sabiendo que $\displaystyle\lim_{h\to 0}{\left(\frac{\cos(h)-1}{h}\right)}=0$

Cualquier expresión multiplicada por $0$ da $0$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

Aplicamos la regla: $\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin\left(nh\right)}{h}\right)$$=n$, donde $n=2$