Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
- Elige una opción
- Resolver usando la regla de l'Hôpital
- Resolver sin utilizar l'Hôpital
- Resolver usando propiedades de los límites
- Resolver haciendo sustitución directa
- Resolver el límite usando factorización
- Resolver el límite usando racionalización
- Integrar por fracciones parciales
- Producto de Binomios con Término Común
- Método FOIL
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Reescribimos el límite haciendo uso de la identidad: $a^x=e^{x\ln\left(a\right)}$
Multiplicando la fracción por el término $\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Multiplicando la fracción por el término $\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$
Aplicar la regla de potencia de límites: $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = \lim_{x\to a}f(x)^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$
El límite de una constante es igual a la constante
Insertar el valor $0$ en el límite
El seno de $0$ es $0$
Multiplicar $3$ por $0$
Sumar los valores $1$ y $0$
Calculando el logaritmo natural de $1$
Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada
Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado
Encontrar la derivada del numerador
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$
Multiplicando la fracción por el término $3\cos\left(x\right)$
Encontrar la derivada del denominador
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión
Después de derivar tanto el numerador como el denominador, y simplificar, el límite resulta en
Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ por $x$
El seno de $0$ es $0$
Multiplicar $3$ por $0$
Sumar los valores $1$ y $0$
El coseno de $0$ es $1$
Multiplicar $3$ por $1$
Dividir $3$ entre $1$
Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ por $x$
