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Ejercicio

$\left(x-2\right)\frac{dy}{dx}+y=x^2-4$

Solución explicada paso por paso

1

Dividir todos los términos de la ecuación diferencial por $x-2$

$\frac{x-2}{x-2}\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x-2}=\frac{x^2-4}{x-2}$
2

Simplificando

$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x-2}=x+2$
3

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{1}{x-2}$ y $Q(x)=x+2$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
4

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{1}{x-2}dx=\ln\left(x-2\right)$
5

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x-2$
6

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}\left(x-2\right)+\frac{y}{x-2}\left(x-2\right)=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$
7

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(\left(x-2\right)y\right)=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$
8

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(\left(x-2\right)y\right)dx=\int\left(x+2\right)\left(x-2\right)dx$
9

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$\left(x-2\right)y=\int\left(x+2\right)\left(x-2\right)dx$
10

Resolver el producto de diferencia de cuadrados $\left(x+2\right)\left(x-2\right)$

$\left(x-2\right)y=\int\left(x^2-4\right)dx$
11

Expandir la integral $\int\left(x^2-4\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\left(x-2\right)y=\int x^2dx+\int-4dx$
12

Resolver la integral $\int x^2dx+\int-4dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\left(x-2\right)y=\frac{x^{3}}{3}-4x+C_0$
13

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\frac{x^{3}-12x+C_1}{3\left(x-2\right)}$

Respuesta final al problema

$y=\frac{x^{3}-12x+C_1}{3\left(x-2\right)}$

¿Cómo debo resolver este problema?

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