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Ejercicio

$\left(4y-3x\right)dx+5xdy=0$

Solución explicada paso por paso

1

Podemos identificar que la ecuación diferencial $\left(4y-3x\right)dx+5x\cdot dy=0$ es homogénea, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas son funciones homogéneas del mismo grado

$\left(4y-3x\right)dx+5x\cdot dy=0$
2

Hacemos la sustitución: $y=ux$

$\left(4ux-3x\right)dx+5x\left(u\cdot dx+x\cdot du\right)=0$
3

Expandir y simplificar

$\frac{5}{-3u+1}du=\frac{3}{x}dx$
4

Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $u$, y el lado derecho con respecto a $x$

$\int\frac{5}{-3u+1}du=\int\frac{3}{x}dx$
5

Resolver la integral $\int\frac{5}{-3u+1}du$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\frac{5}{-3}\ln\left|-3u+1\right|=\int\frac{3}{x}dx$
6

Resolver la integral $\int\frac{3}{x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\frac{5}{-3}\ln\left|-3u+1\right|=3\ln\left|x\right|+C_0$
7

Reemplazar $u$ con el valor $\frac{y}{x}$

$\frac{5}{-3}\ln\left(-3\left(\frac{y}{x}\right)+1\right)=3\ln\left(x\right)+C_0$
8

Multiplicando la fracción por el término $-3$

$\frac{5}{-3}\ln\left|\frac{-3y}{x}+1\right|=3\ln\left|x\right|+C_0$

Respuesta final al problema

$\frac{5}{-3}\ln\left|\frac{-3y}{x}+1\right|=3\ln\left|x\right|+C_0$

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Elige una opción
  • Ecuación Diferencial Exacta
  • Ecuación Diferencial Lineal
  • Ecuación Diferencial Separables
  • Ecuación Diferencial Homogénea
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  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
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$\frac{-4x^5+x^3+2x^2-3+1}{x+1}$
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