Podemos resolver la integral $\int2\sqrt{-\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+4}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

Aplicando la regla de potencia de un producto

Factorizando por $4$

Aplicando la regla de potencia de un producto

Aplicando la identidad trigonométrica: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$

La integral de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

Simplificar $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$

Al multiplicar dos potencias de igual base ($\cos\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes

Aplicamos la regla: $\int\cos\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, donde $x=\theta $

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$

Multiplicar la fracción y el término en $2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$