Podemos resolver la integral $\int\sec\left(2x\right)^5dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Integral de $\sec(x)^5$
Resolver el producto $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\sec\left(u\right)^3\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left|\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right|\right)$
Resolver el producto $\frac{1}{2}\left(\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left|\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right|\right)$
Simplificamos la expresión
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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